loading即an＝3
n－1
??3，n＝1，
，所以an＝?n－1
?3，n＞1.?
1
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
3当n>1时，bn＝3
1－nlog33
n－1
＝(n－1)·3
1－n，
1
所以T1＝b1＝；
3
1－1－21－n当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3＋2×3＋…＋(n－1)×3]，
3所以，3Tn＝1＋[1×3＋2×3＋…＋(n－1)×3两式相减，得
20－1－22－n1－n2Tn＝＋(3＋3＋3＋…＋3)－(n－1)×3
321－3136n＋31－n＝＋＝－－1－(n－1)×3n， 31－362×3136n＋3所以Tn＝－n.
124×3经检验，n＝1时也适合． 136n＋3
综上可得Tn＝－n.
124×3
1－n0
－1
2－n]，
1111＋2＋2＋…＋的值为( ) 2
2－13－14－1（n＋1）－1
2
1.A.
n＋1
2（n＋2）
3n＋1B.－ 42（n＋2）1?31?1＋C.－??
42?n＋1n＋2?1?31?1－D.－??
42?n＋1n＋2?
111
解析：∵＝2＝ 2
（n＋1）－1n＋2nn（n＋2）1?1?1
＝?－?， 2?nn＋2?∴
1111＋2＋2＋…＋ 2
2－13－14－1（n＋1）－1
2
11?1?11111
＝?1－＋－＋－＋…＋－
32435nn＋2?2??11?1?3
－＝?－?
2?2n＋1n＋2?1?31?1＋＝－??.
42?n＋1n＋2?答案：C 2．定义
np1＋p2＋…＋pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知正项数列{an}
的前n项的“均倒数”为
A.C.1 1110 11
1an＋1111，又bn＝，则＋＋…＋＝( ) 2n＋14b1b2b2b3b10b11
B.1
12
11D. 12
12
＝，即Sn＝n(2n＋1)＝2n＋n，当n＝1时，a1＝S1
a1＋a2＋…＋an2n＋1
解析：依题意有
n＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，a1＝3满足该式．则an＝4n－1，bn＝1＝
an＋1
4
＝n.因为
bnbn＋1
1111111111110
＝－，所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.
n（n＋1）nn＋1b1b2b2b3b10b11223101111
答案：C
??1?11??11??是等差数列，3．设数列{an}是首项为1的等比数列，若?则?＋?＋?＋??2a1a2??2a2a3??2an＋an＋1?
＋…＋?
?1＋1?的值等于( )
??2a2 012a2 013?
B．2 013 D．3 019
A．2 012 C．3 018
??1112
?是等差数列，解析：设数列{an}的公比为q，若?则由＋＝，
2a1＋a22a3＋a42a2＋a3?2an＋an＋1?
得
112113?11??11?＋2＋＝，故?＋?＋?＋?3＝2，解得q＝1，则an＝1，从而2＋q2q＋q2q＋q2anan＋12?2a1a2??2a2a3?
＋…＋?
?1＋1?＝2 012×3＝3 018.
?2?2a2 012a2 013?
*
答案：C
4．(2016·韶关模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋1，n∈N. (1)求数列{an}的通项公式；
?bn?9
(2)设bn＝log3an＋1，求数列??的前n项和Tn，并证明：1≤Tn＜.
4?an?
解：(1)由an＋1＝2Sn＋1， 得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an， 故an＋1＝3an(n≥2)，
所以当n≥2时，{an}是以3 为公比的等比数列． 因为a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，＝3，
所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列，an＝3(2)证明：由(1)知an＝3
n－1
n－1
a2
a1
.
，故bn＝log3an＋1＝log33＝n，
n1?n－1bnn?＝＝n·??，
an3n－1?3?
1?21?31?n－11???Tn＝1＋2×＋3×??＋4×??＋…＋n×??，①
3?3??3??3?
1?21?31?n－11?n11????Tn＝1×＋2×??＋3×??＋…＋(n－1)×??＋n×??.②
33?3??3??3??3?
?1?1－?3?1?n－11?n1?n21?1?2?1?3?????①－②，得Tn＝1＋＋??＋??＋…＋??－n×??＝－n×??，
33?3?1?3??3??3??3?
1－3
9?93??1?n所以Tn＝－?＋n???.
4?42??3?
n?93??1?因为?＋n???>0， ?42??3?
9?93??1?n9
所以Tn＝－?＋n???<.
4?42??3?4又因为Tn＋1－Tn＝
nn＋1
3
n>0，
所以数列{Tn}单调递增， 所以(Tn)min＝T1＝1， 9
所以1≤Tn<. 4