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找规律、周期性问题
一、填空题
1.
某年的二月份有五个星期日， 年六月一日是星期 _____.
2. 1989 年 12 月 5 日是星期二 , 那么再 十年的 12 月 5 日是星期 _____. 3. 按下面 法 80 个三角形 , 有_____个白色的 .
??
4． 日的校园内挂起了一 小 灯， 小明看出每两个白灯之 有 、 黄、 各一 彩灯 . 也
就是 , 从第一 白灯起 , 每一 白灯后面都 接着有 3 彩灯 , 小明想第 73 灯是 _____灯.
5. 在表示的 是 14 正 , 那么分 旋 1991 周后 , 表示的 是 _____. 6. 把自然数 1,2,3,4,5 ??如表依次排列成 5 列，那么数“ 1992”在 ___列.
第一列
1
第二列
2 9 11 18 ?
第三列
3 8 12 17 ? ?
第四列
4 7 13 16 ? ?
第五列
5 6 14 15 ? ?
10
?
7. 把分数 化成小数后，小数点第 110 位上的数字是 _____.
4
?
7
8. 循 小数 0.1992517 与 0.34567 . 两个循 小数在小数点后第 _____位,
首次同 出 在 位中的数字都是 7.
??共有 1991 个 9. 一串数 : 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,
数 .(1) 其中共有 _____个 1,_____ 个 9_____个 4；(2) 些数字的 和是 _____.
10. 7 7 7 ?? 7 所得 末位数是 _____.
50 个
二、解答题
11. 接着 1989 后面一串数字， 写下的每个数字都是它前面两个数字的乘 的个位数 . 例如 8 9=72, 在 9 后面写 2,9 2=18, 在 2 后面写 8, ??得到一串数 字 :1 9 8 9 2 8 6?? 串数字从 1 开始往右数，第 1989个数字是什么？
12. 1991 个 1990 相乘所得的 与 1990 个 1991 相乘所得的 ，再相加的和末两位数是多少？
13. n=2 2 2 ?? 2，那么 n 的末两位数字是多少？
1991 个
14．在一根 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个 点，同 自右至左每隔 5 厘米也染一个 点， 然后沿 点 将木棍逐段 开， 那么 度是 1 厘米的短木棍有多少根？
———————————————答 案——————————————————————
1.二 因 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以 年二月份 是 29 天，
且 2 月 1 日与 2 月 29 日均 星期日， 3 月 1 日是星期一，所以从 年 3 月 1 日 起到 年 6 月 1 日共 了
31+30+31+1=93( 天).
因 93 7=13?2，所以 年 6 月 1 日是星期二 . 2． 日
依 意知， 十年中 1992 年、 1996 年都是 年，因此， 十年之中共有 365 10+2=3652（天） 因 （ 3652+1） 7=521?6，所以再 十年的 12 月 5 日是星期日 .
[ 注 ] 上述两题 ( 题 1—题 2) 都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解
答这类问题主要依据每周为七天循环的规律， 是闰年，公历年数为整百数时，必须是
运用周期性解答 . 在计算天数时 , 要根据“四年
4 的倍数就
一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是
400 的倍数才是闰年 .
3. 39
从 中可以看出 , 三角形按“二黑二白一黑一白”的 律重复排列，也就是 一排列的周期 6，并且每一周期有 3 个白色三角形 .
因 80 6=13? 2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的， 所以共有白色三角形 13 3=39（个） .
4. 白
依 意知 , 灯的安装排列如下 : 白 , , 黄 , , 白 , , 黄, , 白, ?? 一排列是按“白， ，黄， ”交替循 出 的，也就是 一排列的周期 4.
由 73 4=18?1, 可知第 73 灯是白灯 . 5. 13.
分 旋 一周 1 小 , 旋 1991 周 1991 小 . 一天 24 小 ,1991 24=82? 23，1991 小 共 82 天又 23 小 . 在是 14 正 , 82 天仍然是 14 正 , 再 23 小 , 正好是 13 .
[ 注 ] 在圆面上 , 沿着圆周把 1 到 12 的整数等距排成一个圈 数学问题 , 周期现象就是其中的一个重要方面 .
, 再加上一根长针和一根短
针 , 就组成了我们天天见到的钟面 . 钟面虽然是那么的简单平常 , 但在钟面上却包含着十分有趣的
6. 3
仔 察 中数表 . 1 2 3 4 5 ( 第一
9 8 7
10 11 12 13 14 ( 第二
18 17 16 15 ( 19 20 21 22 23 ( 第三
27 26 25 24 (
奇数排 )
6(
偶数排 ) 奇数排 ) 偶数排 ) 奇数排 )
偶数排 )
可 律如下 :
(1) 自然数按每 9 个数 , 且奇数排自左往右五个数 , 偶数排自右往左四个数的 律循 排列；
(2) 察第二 , 第三 , 奇数排的数如果用 9 除有如下 律 : 第 1 列用 9 除余数 1, 第 2 列用 9 除余数 2, ?，第 5 列用 9 除余数 5.
(3)10 9=1? 1， 10 在 1+1 ，第 1 列 19 9=2? 1， 19 在 2+1 ，第 1 列 因 1992 9=221?3，所以 1992 排列在（ 221+1）=222 中奇数排第 3 列数的位置上 .
7. 7
7
4
=0. ??
它的循 周期是 6，具体地六个数依次是 5，7，1，4，2， 8 110 6=18?2
因 余 2，第 110 个数字是上面列出的六个数中的第 2 个，就是 7.
8. 35 .. .. 因 的循 周期是 7, 的循 周期 5, 又 5 和 7 的最小公倍数是 35, 所以两
个循 小数在小数点后第 35 位, 首次同 出 在 位上的数字都是 7.
9. 853,570,568,8255. 不 看出 , 串数每 7 个数即 1,9,9,1,4,1,4 一个循 , 即周期 7, 且每
个周期中有 3 个 1,2 个 9,2 个 4. 因 1991 7=284?3，所以 串数中有 284 个 周期，加上第 285 个周期中的前三个数 1，9，9. 其中 1 的个数 是 :3 284+1=853(个),9 的个数是 2 284+2=570(个),4 的个数是
2 284=568(个). 些数字的 和 1
853+9 570+4 568=8255. 10. 9
先找出 的末位数的 化 律 :
1
7 末位数 7,7 末位数 9,7 末位数 3, 7
2
3
4
5
末位数 1；7 =7
4+1
末位数
由此可 ， 的末位依次 7，9，3，1，7， 9， 3， 1??，以 4 周期循 出 . 因 50
4=12?2，即 750=74 12 2 ，所以 750 与 72 末位数相同，也就是 的末
位数是 9.
11. 依照 述 多写几个数字 : 884??
可 1989 后面的数 是不断循 重复出
286884，每 6 个一 ，即循 周期
6. 因 (1989-4) 6=330?5，所以所求数字是 8.
12. 1991 个 1990 相乘所得的 末两位是 0, 我 只需考察 1990 个 1991 相
乘的 末两位数即可 .1 个 1991 末两位数是 91,2 个 1991 相乘的 末两位数是 81,3 个 1991 相乘的 末两位数是 71,4 个至 10 个 1991 相乘的 的末两位数分 是 61,51,41,31,21,11,01,11 个 1991 相乘 的末两位数字是 91，??，由此
可 ，每 10 个 1991相乘的末两位数字重复出 ， 即周期 10. 因 1990 10=199, 所以 1990 个 1991 相乘 的末两位数是 01, 即所求 果是 01.
13. n 是 1991 个 2 的 乘 , 可 n=21991, 首先从 2 的 低次 入手 找 律 , 列表如下 :
n 的十 位数字
0 0 0 1 3 6 2 5 1 2
4
n 的个 位数字
2 4 8 6 2 4 8 6 2 4
8
2
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29
n
212
213 214 215
216
217 218 219
220
210
221
n 的十 位数字
9 9 8 6 3 7 4 8 7 5
0
n 的个 位数字
6 2 4 8 6 2 4 8 6 2
4
211
222
察上表 , 容易 自 2 开始每隔 20 个 2 的 乘 , 末两位数字就重复出 , 周期 20. 因 1990 20=99? 10，所以 21991 与 211 的末两位数字相同，由上表知 211 的十位数字是 4，个位数字是 8. 所以 , n 的末两位数字是 48.
14. 因 100 能被 5 整除 , 所以自右至左染色也就是自左至右染色 . 于是我 可以看作是从同一端点染色 .
6 与 5 的最小公倍数是 30, 即在 30 厘米的地方 , 同 染上 色 , 染色就会出 循 , 每一周的 度是 30 厘米 , 如下 所示 .
6
12
18
24
30
96
. 90
.
.
.
. 15
100
. .
5 10 20 25 95
由 示可知 1 厘米的短木棍 , 每一周期中有两段 , 如第 1 周期
中 ,6-5=1,5 5-6
7 段 . 合算式 :
2 [(100-10) =2 3+1 =7( 段)
4=1. 剩余 10 厘米中有一段 . 所以 开后 1 厘米的短木棍共有 30]+1
[ 注 ] 解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔
的染色 , 便于利用最小公倍数发现周期现象
, 化难为易 .
5 厘米的染色 , 转化为自左向右