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§6.3.3 等比数列的前n项和（一）
教学目的：
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点：等比数列的前n项和公式推导 教学难点：灵活应用公式解决有关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教材分析：本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法 教学过程：
一、复习：
首先回忆一下前两节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。
公比通常用字母q表示（q≠0），即：
｛an｝成等比数列 ?an?1?=q（n?N,q≠0） an“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。
2. 等比数列的通项公式:
an?a1?qn?1(a1?q?0)， an?am?qm?1(a1?q?0) 3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
4．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±ab（a,b同号）. 5．性质：若m+n=p+q，am?an?ap?aq
6．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
如： 有一个数列满足an?5?3n?1，与公式an?a1?q判断出这个数列为等比数列且a1?5,q?3。 二、讲解新课： *创设情境 兴趣导入
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n?1(a1?q?0)比较我们可以
【趣味数学问题】
传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．
国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．
国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．
计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺． 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？ 各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨?班?达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．
*动脑思考 探索新知
如何求数列1，2，4，?262，263的各项和 以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：
S64?1?2?4?8??262?263 ①
2S64?2?4?8?16??263?264 ② 由②—①可得：S64?264?1
这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前n项和公式： a?anqa1(1?qn) ∴当q?1时，Sn? ① 或Sn?1 ② 1?q1?q当q=1时，Sn?na1 当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②. 公式的推导方法一：
一般地，设等比数列a1,a2?a3,?an?它的前n项和是
Sn?a1?a2?a3??an
?Sn?a1?a2?a3??an由? n?1a?aq1?n2n?2n?1??Sn?a1?a1q?a1q??a1q?a1q得? 23n?1n??qSn?a1q?a1q?a1q??a1q?a1q 第 2页（共4页）
?(1?q)Sn?a1?a1qn
a?anqa1(1?qn)∴当q?1时，Sn? ① 或Sn?1 ②
1?q1?q当q=1时，Sn?na1
公式的推导方法二：
Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1)
＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)
?(1?q)Sn?a1?anq（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利
用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决
现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？ 国王承诺奖赏的麦粒数为 S641(1?264)??264?1?1.84?1019，
1?2据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1017g，约合7360多亿吨．我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！
*巩固知识 典型例题
例5 写出等比数列
1,?3,9,?27,?
的前n项和公式并求出数列的前8项的和． 解 因为a1?1,q??3??3，所以等比数列的前n项和公式为 11?[1?(?3)n]1?(?3)n? Sn?，
1?(?3)41?(?3)8??1640． 故 S8?4例 6 求等比数列1，2，4，?从第5项到第10项的和. 解 由a1?1,a2?2 得q?2
1?(1?24)1?(1?210)?S4??15， S10??1023
1?21?2 第 3页（共4页）
从第5项到第10项的和为S10-S4=1008
例7 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？
解 根据题意可知，获知此信息的人数成首项a1?1,q?2的等比数列 则：一天内获知此信息的人数为：S241?224??224?1?16777215（人） 1?2∵S321?232??232?1?4294967295（人） 1?21?233??233?1?8589934591（人） 1?2S33∴最快33个小时全球人都知道这个消息。 *运用知识 强化练习
练习6.3.3
1．求等比数列
1248，，，，?的前10项的和． 9999
2．已知等比数列｛an｝的公比为2，S4＝１，求S8． *归纳小结 强化思想
1. 等比数列求和公式：当q=1时，Sn?na1
a1?anqa1(1?qn)当q?1时，Sn? 或Sn? ；
1?q1?q2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做） *教学反思
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