loading新《空间向量与立体几何》专题
一、选择题
1．设m、n是两条不同的直线，?、?是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m??，n//?，则m?n； ②若?//?，m??，则m??； ③若m//?，n//?，则m//n； ④若m??，???，则m//?. 其中真命题的序号为（ ） A．①和② 【答案】A 【解析】 【分析】
逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项. 【详解】
对于命题①，若n//?，过直线n作平面?，使得????a，则a//n，Qm??，
B．②和③
C．③和④
D．①和④
a??，?m?a，?m?n，命题①正确；
对于命题②，对于命题②，若?//?，m??，则m??，命题②正确； 对于命题③，若m//?，n//?，则m与n相交、平行或异面，命题③错误； 对于命题④，若m??，???，则m??或m//?，命题④错误. 故选：A. 【点睛】
本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A．8(6?62?3) B．6(8?82?3) C．8(6?63?2) D．6(8?83?2) 【答案】A 【解析】 【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表
面积公式计算即可. 【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2?22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为
11??S?6??(2?22)2?4??2?2??8??2?3?8(6?62?3).
22??故选：A. 【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为AB，AA1的中点，则异面直线
C1M与BN所成角的大小为（ ）
A．30° 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解 【详解】 如图：
B．45?
C．60?
D．90?
作AN的中点N'，连接N'M，C1N'由题设可知N'MPBN，则异面直线C1M与BN所成角为?N'MC1或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，N'M?5 ，
C1M?6，C1N'?41，得C1N'?N'M?C1M，即?N'MC1?90?
222故选D 【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
4．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A．若m∥β，则m∥l C．若m⊥β，则m⊥l
B．若m∥l，则m∥β D．若m⊥l，则m⊥β
【答案】D 【解析】 【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】
A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
5．设?为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A．若a//?，b//?，则a//b C．若a??，a?b，则b//? 【答案】B 【解析】 【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解． 【详解】
若a//?，b//?，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
若a??，a//b，则由直线与平面垂直的判定定理知b??，故B正确；
B．若a??，a//b，则b?? D．若a//?，a?b，则b??
rrrrrr若a??，a?b，则b//?或b??，故C错误；
rr若a//?，a?b，则b//?，或b??，或b与?相交，故D错误．
故选：B． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．3? 2B．?
C．3? D．12?
【答案】C 【解析】 【分析】
该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示
该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥A?BCD，AB?BC?BD?1.
所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r为正方体体对角线的长. 即2r?12?12?12?3. 所以外接球的表面积为4?r2?3?. 故选：C. 【点睛】
本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
7．已知正方体A1B1C1D1?ABCD的棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O，平面?过点E且与直线OC1垂直，若AB?1，则平面?截该正方体所得截面图形的面积为( ) A．6 4B．6 2C．3 2D．3 4【答案】A 【解析】 【分析】
根据正方体的垂直关系可得BD?平面ACC1A1，进而BD?OC1，可考虑平面BDE是否为所求的平面，只需证明OE?OC1即可确定平面?. 【详解】
如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，
222AB?1，则OC1?1??，OE???，EC1?2??，
12321412341494?OC12?OE2?EC12，?OE?OC1；又BD?平面ACC1A1，
?BD?OC1，且OEIBD?O，?OC1?平面BDE，
且S?BDE?1136， BDgOE??2??2224即?截该正方体所得截面图形的面积为故选:A.
6. 4
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.
8．以下说法正确的有几个（ ）
①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； A．0个 【答案】B 【解析】 【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数. 【详解】
①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公
B．1个
C．2个
D．3个
理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B. 【点睛】
本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.
AB9．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3,AA1?1,而对角线1上存
在一点P，使得AP?D1P取得最小值，则此最小值为（ ）
A．7 【答案】A 【解析】 【分析】
B．3 C．1+3 D．2
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1并求出，就 是最小值． 【详解】
把面AA1B绕A1B旋转至面BA1M使其与对角面A1BCD1在同一平面上，连接MD1．MD1就是|AP|?|D1P|的最小值，
Q|AB|?|AD|?3，|AA1|?1，?tan?AA1B?3?3,??AA1B?600．
1ooo所以?MA1D1=90+60=150
?MD1?A1D12?A1M2?2A1D1?A1Mcos?MA1D1?1?3?2?2?3?(?3)?7 2
故选A． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）
A．2对 C．4对 【答案】C 【解析】 【分析】
B．3对 D．5对
画出该几何体的直观图P?ABCD，易证平面PAD?平面ABCD，平面PCD?平面
PAD，平面PAB?平面PAD，平面PAB?平面PCD，从而可选出答案．
【详解】
该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD?平面ABCD， 作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD， 又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD， 所以平面PCD?平面PAD， 同理可证：平面PAB?平面PAD，
由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD， 所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB?平面PCD， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属
于中档题．
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若B1PP平面A1BM，则C1P的最小值是（ ）
A．C．
30 527 5B．D．230 547 5【答案】B 【解析】 【分析】
在A1D1上取中点Q，在BC上取中点N，连接DN,NB1,B1Q,QD，根据面面平行的判定定理可知平面B1QDN//平面A1BM，从而可得P的轨迹是DN（不含D,N两点）；由垂直关系可知当CP?DN时，C1P取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值. 【详解】
如图，在A1D1上取中点Q，在BC上取中点N，连接DN,NB1,B1Q,QD
QDN//BM，DQ//A1M且DNIDQ?D，BMIA1M?M
?平面B1QDN//平面A1BM，则动点P的轨迹是DN（不含D,N两点）
又CC1?平面ABCD，则当CP?DN时，C1P取得最小值
222230??2? 此时，CP? ?CP??2?1??512?225?5?2?1本题正确选项：B 【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点
的轨迹，从而找到最值取得的点.
12．已知m,l是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，则下列可以推出???的是（ ）
A．m?l,m??,l?? C．m//l,m??,l?? 【答案】D 【解析】 【分析】
A，有可能出现?，?平行这种情况.B，会出现平面?，?相交但不垂直的情况.C，根据面面平行的性质定理判断.D，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】
对于A，m?l，m??，若l??，则?//?，故A错误； 对于B，会出现平面?，?相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，因为m//l，m??，则l??，又因为l????∥?，故C错误； 对于D，l??，m∥l?m??，又由m∥?????，故D正确. 故选：D 【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
B．m?l,????l,m?? D．l??,m//l,m//?
13．设?，?是两个不同的平面，m是直线且m??．“mP?”是“?P?”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：平行即可得到
；∴“
，；”是“
得不到，
，因为，∴
和
可能相交，只要没有公共点，∴
和，即
的交线能得到
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
”的必要不充分条件．故选B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；得不到并且
，根据面面平行的判定定理，只有，显然能得到
内的两相交直线都平行于
，而
并，
，这样即可找出正确选项.
14．如下图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E、F、O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，
不含A1的部分为V2，连接A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为?，则
sin?的最大值为（ ）．
A．
2 2B．25 5C．26 5D．26 6【答案】B 【解析】 【分析】
连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到A1M与平面A1B1C1D1所成的角，进而得到sinα的最大值. 【详解】
连接EF，因为EF//面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH//BC交CD于点G,交AB于H点，则GH//EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱A1B1EHA?D1C1FGD为V1，三棱柱EBH-FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N,则?MA1N即为
A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以?MA1N=α，因为sinα=
MN,要使α的正弦最大，A1M必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意，故sinα的最大值为
MNHN25==, A1MA1H5故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.
15．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A．1∶2 C．1∶5 【答案】C 【解析】 【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】
设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝C． 【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
r．∴S侧＝πrl＝
πr2，S底＝πr故选
B．1∶3 D．3∶2
16．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1B1的中点，则AD与平面
BCC1B1所成角的正弦值为（ ）
A．5 5B．25 5C．10 10D．15 10【答案】D 【解析】 【分析】
先找出直线AD与平面BCC1B1所成角，然后在VB1EF中，求出sin?EB1F，即可得到本题答案. 【详解】
如图，取AB中点E，作EF?BC于F，
连接B1E,B1F，则?EB1F即为AD与平面BCC1B1所成角. 不妨设棱长为4，则BF?1,BE?2，
?EF?3,B1E?25 ?sin?EB1F?故选：D 【点睛】
315. ?2510本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.
17．圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥
SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A．9:32 B．8:27 C．9:22 D．9:28 【答案】A 【解析】 【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案. 【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为πrl， 侧面积与底面积的比为则圆锥的体积为
πrll??2,则母线l=2r,圆锥的高为h=l2?r2?3r, 2?rr1233πrh??r, 33设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=3r?R,BD=r, 在直角三角形BOD中，由勾股定理得OB2?OD2?BD2,即R2?r2??3r?R,
?22448332?r33r,所以外接球的体积为?R???r?, 展开整理得R=333339333?r93?故所求体积比为
32?r33293故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
18．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为( )
A．6 【答案】A 【解析】
B．5 C．2 D．1
由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥P?ABCD：
其中，四边形ABCD为边长为1的正方形，PE?面ABCD，且AE?1，PE?1. ∴AP?∴CE?AE2?PE2?2，BE?AB?AE?2，DE?AD2?AE2?2
BE2?BC2?5，PB?BE2?PE2?5,PD?PE2?DE2?3 ∴PC?CE2?PE2?6 ∴最长棱为PC 故选A.
点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.
19．如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为
A．2 C．
B．1 D．
3 25 2【答案】C 【解析】 【分析】
判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可． 【详解】
由正视图可知：M是AD1的中点，N在B1处，Q在C1D1的中点， 俯视图如图所示：
可得其面积为：2?2?【点睛】
1113?2?1??1?1??1?2?，故选C． 2222本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.
20．设?,?是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，且l??，m??，则（ ） A．若?//?，则l//m C．若m??，则??? 【答案】C 【解析】 【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】
A. 若?//?，则l与m可能平行，可能异面，所以A不正确. B. 若m//a，则?与?可能平行，可能相交，所以B不正确.
C. 若m??，由m??，根据面面垂直的判定定理可得???，所以C正确. D若???，且l??，m??，则l与m可能平行，可能异面，可能相交, 所以D不正
B．若m//a，则?//? D．若???，则l//m
确. 【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.