全国大学生数学竞赛真题试卷2017年01-试题-第九届全国初赛-数学类试卷 

2017年第九届全国大学生数学竞赛初赛

（数学类）试卷

一、（本题15分）在空间直角坐标系中，设单叶双曲面?的方程为x2?y2?z2?1. 设P为空间中的平面，它交?于一抛物线C. 求该平面P的法线与z?轴的夹角. 二、（本题15分）设an必要条件是an

?

??是递增数列，a1?1. 求证： 级数?a

n?1

an?1?an

n

lnan?1

收敛的充分

??有界. 又问级数通项分母中的an是否可以换成an?1？ 三、（本题15分）设???W1,W2,?,Wr?为r个各不相同的可逆的n阶复方阵构成的集

Wi?0当合. 若该集合关于矩阵乘法封闭（即?M,N??，有MN??）. 证明：?i?1

且仅当?rtrWi?0，其中trWi表示Wi的迹. i?1

四、（本题20分）给定非零实数a及实n阶反对称矩阵A(即A的转置AT等于?A). 记矩阵有序对集合T为：T?(X,Y)|X??

r

?????n?n

,Y??n?n,XY?aI?A，其中I为

?n阶单位阵，?n?n为所有实n阶方阵构成的集合. 证明：任取T中的两元：?X,Y?和

(M,N)，必有XN?YTMT?0.

?n?k??

?????五、（本题15分）设f?x??arctanx,A为常数. 若B?lim?f?An?????存在，??n???n??k?1???

求A,B.

六、（本题20分）设f(x)?1?x?x(x?[0,1])，计算以下极限并说明理由：

2

3

n??

lim

?0

1

fn(x)ln(x?2)dx

?0

1

.

fn(x)dx

1