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由（1）（2）（3）得
即
6．用矢量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点
证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于AL于CN交于
，
BM于CN交于
，取空间任一点O，则
同理
三点重合
三角形三中线共点
，
（2）用向量法证明：P是ΔABC重心的充要条件为证明：
设P为△ABC的重心，D为BC边中点，则
又因为PD为△PBC的中线，所以
即
所以有
设D为BC边中点，则
，即
，
又因为
与
共线，即P在BC边的中线上，
同理可得P也在AB，AC边的中线上，从而有P为△ABC的重心。 7．已知矢量
不共线，问
，使得
与
不共线得成立。所以
8. 证明三个矢量＝－
+3
与假设矛盾， 故不存在不全为0的
线性无关。 +2
, ＝4
－6
+2
，＝－3
+12
＋11
共面，，使得
是否线性相关？
证明：设存在不全为0的即 故由已知
其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式. 证明：由于矢量
,
,
不共面，即它们线性无关.
考虑表达式 ?+?+v＝，即 ? (－
+3
+2
)+? (4
－6
+2
)+v (－3
+12
＋11
)＝,
或 (－?+4?－3v) 由于
,
,
+(3?－6?＋12v) +(2?+2?＋11v) ＝.
线性无关，故有
解得 ?＝－10，?＝－1，v＝2. 由于 ?＝－10?0，所以
能用,
线性表示
＝－＋.
共面。
9．证明三个矢量证明：
三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。 －所以 从而
＝?(＝?//
－, .
),
故 A，B，C三点共线.
§1.5 标架与坐标
1. 在空间直角坐标系{O;
}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于
(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. 解：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, －c)，
M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(－a, b, c)， M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,－b, c)， M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)， M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)， M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(－a,－b, c). 类似考虑P (2,－3，－1)即可. 2．已知A,B,C三点坐标如下： （1）在标架（2）在标架
下，下，
和
共线
的线形关系式.
判别它们是否共线？若共线，写出 解：（1）因为 所以
（2）设所以
，但不共线.
不存在
得 所以 .
3. 已知矢量, , 的分量如下：
(1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}； (2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.
试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.
解:(1) 因为 ＝0,所以 , , 三矢量共面,
，
又因为, 的对应坐标成比例，即//，但 故不能将表成, 的线性组合.
(2) 因为 ＝0,所以 , , 三矢量共面.
，
又因为 , 的对应坐标不成比例，即故可以将表成, 的线性组合.
设 ＝?+?, 亦即{0, 5, 6}＝?{1, 2, 3}+?{2, －1, 0} 从而
解得 ?＝2，?＝－1, 所以 ＝2－.