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第11讲 导数在研究函数中的应用
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．函数y＝x－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A．72 C．12 答案 D
解析 因为y′＝4x－4，令y′＝0即4x－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，在[－2,3]上只有一个极值点，所以函数的极小值为y|x＝1＝0，所以ymin＝0.
2．[2018·南阳模拟]已知函数f(x)＝x－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是( )
2
3
3
4
B．36 D．0
?1?A.?0，?和(1，＋∞) ?2?
?1?C.?0，?和(2，＋∞) ?2?
答案 C
B．(0,1)和(2，＋∞) D．(1,2)
22解析 函数f(x)＝x－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝x2x－5x＋2＝2x－2x2x－1x1＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是2?0，1?，(2，＋∞)． ?2???3．[2018·无锡模拟]设函数f(x)＝xe，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 答案 D
解析 f′(x)＝(x＋1)e，当x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1时，f′(x)＞0，所以
xxx＝－1为f(x)的极小值点．故选D.
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4．若a>2，则函数f(x)＝x－ax＋1在区间(0,2)上恰好有( )
3A．0个零点 C．2个零点 答案 B
解析 ∵f′(x)＝x－2ax，且a>2， ∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0， 即f(x)在(0,2)上是单调减函数． 11
又∵f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，
3
1
2
B．1个零点 D．3个零点
∴f(x)在(0,2)上恰好有1个零点．故选B.
5．[2018·珠海模拟]设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜
b时，有( )
A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b) 答案 C
解析 ∵f′(x)＞g′(x)，∴[f(x)－g(x)]′＞0. ∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数． ∴f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)． 即f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．
6．已知函数f(x)＝kx＋3(k－1)x－k＋1(k>0)．
(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为________； (2)若f(x)在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是________． 1?1?答案 (1) (2)?0，? 3?3?12解析 (1)f′(x)＝3kx＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝. 322(2)由f′(x)＝3kx＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图象可知，必有－11得k≤.又k>0，故0
答案 (2，＋∞)
解析 令g(x)＝f(x)－x， ∴g′(x)＝f′(x)－1.
由题意知g′(x)＞0，∴g(x)为增函数． ∵g(2)＝f(2)－2＝0，
∴g(x)＞0的解集为(2，＋∞)．
1312?2?8．[2018·西宁模拟]若函数f(x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，
32?3?则a的取值范围是________．
3
2
2
k－1≥4，解k?1?答案 ?－，＋∞? ?9?
?1?21?2?2
解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋x＋2a＝－?x－?＋＋2a.当x∈?，＋∞?时，
?2?4?3?
f′(x)的最大值为f′??＝＋2a.令＋2a＞0，解得a＞－.所以a的取值范围是
3
?2???
292919
2
?－1，＋∞?. ?9???
9．[2018·广西模拟]已知函数f(x)＝(x－k)e. (1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e. 令f′(x)＝0，得x＝k－1.
xxf(x)与f′(x)随x的变化情况如下：
x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － k－1 0 －ek－1(k－1，＋∞) ＋ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0 k－1 ； 当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为 f(0)＝－k； 当1 f(k－1)＝－ek－1； 当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 10．[2018·金华模拟]函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值． (1)求f(x)的单调区间； (2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 解 (1)f′(x)＝a＋ln x＋1， f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋xln x，即f′(x) ＝ln x， 令f′(x)>0，解得x>1； 令f′(x)<0，解得0 ∴f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． (2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)内有两个不同的根，也可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点， 由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1， 由题意得，m＋1>－1即m>－2，① 当0 当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞(或者举例：当x＝e时，f(e)＝e＞0)． 如图，由图象可知，m＋1＜0，即m＜－1，② 2 2 2 3 由①②可得－2＜m＜－1. 故m的取值范围为(－2，－1)． [B级 知能提升] 1．[2016·四川高考]已知a为函数f(x)＝x－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 C．4 答案 D 解析 由题意可得f′(x)＝3x－12＝3(x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2， 则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： 23 B．－2 D．2 x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 极大值 (－2,2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ 2 x∴函数f(x)在x＝2处取得极小值，则a＝2.故选D. 2．[2018·山东师大附中检测]已知函数f(x)＝xe，g(x)＝－(x＋1)＋a，若?x1，x2 ∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是( ) ?1?A.?－，＋∞? ?e? C．[－e，＋∞) 答案 D B．[－1，＋∞) ?1?D.?－，＋∞? ?e? xx解析 f′(x)＝e＋xe＝(1＋x)e，当x>－1时，f′(x)>0，函数单调递增；当x<－11 时，f′(x)<0，函数单调递减．所以当x＝－1时，f(x)取得极小值即最小值，f(－1)＝－.e函数g(x)的最大值为a.若?x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则有g(x)的最大值大于或1 等于f(x)的最小值，即a≥－.故选D. e 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cosx，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－ xx)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________． 4