loading数学分析 第 十二章 数项级数 §12.3 一般项级数 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 *点击以上标题可直接前往对应内容 §3 一般项级数 交错级数 绝对收敛级数及其性质
交错级数
若级数的各项符号正负相间, 即
n?1u1?u2?u3?u4??(?1)un?(un?0,n?1,2,),阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法
(1)则称为交错级数
. 定理12.11（莱布尼茨判别法） 若交错级数(1)满足:
(ii)limun?0,n??后退 前进 目录 退出
(i)数列{un}单调递减;则级数(1)收敛.
数学分析 第十二章 数项级数 高等教育出版社 §3 一般项级数 交错级数 绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法
它的奇数项 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn}, 和偶数项分别为
S2m?1?u1?(u2?u3)??(u2m?2?u2m?1),?(u2m?1?u2m).
S2m?(u1?u2)?(u3?u4)?由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的,
而数列?S2m?是递增的.?S2m?1?是递减的，从而数列又由条件(ii)知道0?S2m?1?S2m?u2m?0(m??),由区间套定理, 存 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套.
在惟一的实数 S, 使得
数学分析 第十二章 数项级数 高等教育出版社 §3 一般项级数 交错级数 绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法
m??limS2m?1?limS2m?S.m??所以数列{Sn}收敛,即级数(1)收敛.推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛级数(1)的余项估计式为 Rn?un?1. 对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的:
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