loading习题解答 习题一
1-1 ｜?r｜与?r 有无不同?
drdrdvdv与有无不同? 与有无不同?其不同在哪里?dtdtdtdt试举例说明.
解:(1)
???r就是位移得模,?r就是位矢得模得增量,即?r?r2?r1,?r?r2?r1;
(2)
drdrds就是速度得模,即、 ?v?dtdtdtdr只就是速度在径向上得分量、 dt?叫做单位矢),则?(式中r∵有r?rr式中
?drdrdr??r ?rdtdtdtdr就就是速度径向上得分量, dt∴
drdr与不同如题1-1图所示、 dtdt题1-1图
?dv?dvdv (3)表示加速度得模,即a?,就是加速度a在切向上得分量、
dtdtdt∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢),所以
????dvdv?d????v dtdtdtdv就就是加速度得切向分量、 dt???d??dr与(?得运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论) dtdt式中
1-2 设质点得运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点得速度与加速度时,有人先求出rd2rdr＝x?y,然后根据v =,及a＝2而求得结果;又有人先计算速度与加速度得分
dtdt22量,再合成求得结果,即
?dx??dy? v=?????及a=
?dt??dt?正确？为什么？两者差别何在？
22?d2x??d2y???dt2?????dt2?? 您认为两种方法哪一种????22???解:后一种方法正确、因为速度与加速度都就是矢量,在平面直角坐标系中,有r?xi?yj,
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt 2?22??dy?drdxa?2?2i?2jdtdtdt故它们得模即为
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y22x2y22?d2x??d2y?a?a?a???dt2?????dt2??????2
而前一种方法得错误可能有两点,其一就是概念上得错误,即误把速度、加速度定义作
drv?dtd2ra?2
dtdrd2rdr与2误作速度与加速度得模。其二,可能就是将在1-1题中已说明不就是速度得模,dtdtdtd2r而只就是速度在径向上得分量,同样,2也不就是加速度得模,它只就是加速度在径向分
dt2?d2r??d???量中得一部分?a径?2?r?或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r在径向??。
dt?dt???????(即量值)方面随时间得变化率,而没有考虑位矢r及速度v得方向随间得变化率对速度、加
速度得贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为
x=3t+5, y=
12
t+3t-4、 2式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量得表示式;(2)求出t=1 s 时刻与t＝2s 时刻得位置矢量,计算这1秒内质点得位移;(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内得平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t＝4 s 时质点得速度;(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点得平均加速度;(6)求出质点加速度矢量得表示式,计算t＝4s 时质点得加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中得矢量式).
?12??解:(1) r?(3t?5)i?(t?3t?4)jm
2(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m
???r2?11j?4jm ??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j
?????????rr4?r012i?20j∴ v????3i?5jm?s?1
?t4?04????dr(4) v??3i?(t?3)jm?s?1
dt????1则 v4?3i?7j m?s ??????v?3i?3j,v?3i?7j (5)∵ 04??????vv4?v04???1jm?s?2 a??t44???dv(6) a??1jm?s?2
dt这说明该点只有y方向得加速度,且为恒量。
1-4 在离水面高h米得岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以
v0(m·s?1)得速率收绳时,试求船运动得速度与加速度得大小.
图1-4
解: 设人到船之间绳得长度为l,此时绳与水面成?角,由图可知 l?h?s
将上式对时间t求导,得
222dlds?2s dtdt根据速度得定义,并注意到l,s就是随t减少得,
2l 题1-4图