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母题四 二项式定理
【母题原题1】【2018上海卷，3】在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为 。（结果用数值表示）
【答案】21
2【解析】由(1?x)7展开式通项公式得，(1?x)7展开式x的系数为C7?21.
22??【母题原题2】【2016上海卷，9】在?3x??的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则
x??常数项等于_________．
【答案】112 【解析】试题分析：
n
【考点】二项式定理
【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项进行求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.
【命题意图】本类题主要考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力. 【命题规律】高考对二项式定理的考查主要考查利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型多以选择题、填空题的形式考查.
【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步： 第一步：首先求出二项展开式的通项 因为(1?1166)(1?x)?1?(1?x)??(1?x)6； 22xx6
第二步：根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数 (1?x)展开式中含x的项为
21?C62x2?15x2，
1124426展开式中含的项为x?Cx?15x?(1?x)6x2x2
2第三步：得出结论 x前系数为15?15?30【方法总结】
1．熟记二项式定理及通项 (1)定理
公式(a?b)?Cna?Cna(2)通项
kn?kkTk?1?Cnab为展开式的第k?1项．
n0n1n?1kn?kknnb?????Cnab?????Cnb(n?N*)叫做二项式定理．
2．活用二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cn?Cn(2)增减性与最大值：二项式系数Cn，当k?系数是递减的．
当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值．
当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和
012n?Cn?Cn?????Cn?2n. (a?b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Cnmn?m.
kn?1n?1时，二项式系数是递增的；当k?时，二项式22二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
0213Cn?Cn?????Cn?Cn?????2n?1.
3．求展开式系数最大项：如求(a?bx)(a,b?R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1,A2,???,An?1，且第k项系数最大，应用?n
?Ak?Ak?1从而解出k来，即得．
?Ak?Ak?1n4.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如?ax?b?、(ax?bx?c)(a,b,c?R)的式
2n子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x?1即可；对形如?ax?by?的式子求其展开式各项
n系数之和，只需令x?y?1即可．
5．若f(x)?a0?a1x?a2x?????anx，则:
2nf(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0?a2?a4?????偶数项系数之和为a1?a3?a5?????f(1)?f(?1)，
2f(1)?f(?1).
26.某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a,b的取值有关，而二项式系数与
a,b的取值无关．
1．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】二项式有 （ ）
A. 4项 B. 7项 C. 5项 D. 6项 【答案】B 【解析】二项式式
的展开式中，
的展开式中，其中是有理项的项数共
通项公式为
时满足题意，共71个．
故选B.
2．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】若将函数
则的值等于___________．
【答案】20
表示成
3．【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】设的各项系数之和，
，
，
，为的展开式
___________. 【答案】
表示不超过实数的最大整数.则的最小值为
【解析】利用赋值法，令可得：，
，
则，，
，故，
的几何意义为点
如图所示，最小值即
到
到点的距离，
的最小值为
.
的距离，由点到直线距离公式可得
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”