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江苏省扬中市第二高级中学2013届高三上学期期末模拟数学试题
一、填空题：
1．若复数z满足iz?2?3i（i是虚数单位），则z= ． 2．已知?为锐角，cos??55，则tan(?4??)? ．
3．设a,b,c是单位向量，且a?b?c，则向量a,b的夹角等于 ．
4．从标有数字1到4的四张卡片中任取2张，则积为偶数的概率为 ． 5．右图是一程序框图，则其输出结果为 ．
????????????????????????6．在△ABC中，∠C为直角，且AB?BC＋BC?CA＋CA?AB＝－25，则AB的长为 ．
开始 S=0 k?1k?6否 是 S?S?1k(k?1) 输出S k?k?1结束 (第5题)
7．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆
22
xa221 2 4 8 16 32 ??
（第12题）
?yb22?1(a?b?0)的焦点与顶点，若双曲线的两
条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 ． 8．已知圆O：x?y?9，过圆外一点P作圆的切线PA,PB（A,B为切点），当点P在直线2x?y?10?0上运动时，则四边形PAOB的面积的最小值为 ． 9．设函数f(x)＝x|x?a|，若对于任意的x1，x2∈[2，??)，x1≠x2，不等式
f(x1)?f(x2)x1?x2＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ．．
10如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(单位圆与x轴
??的一个交点)开始沿单位圆按逆时针方向运动角??0???P1，然后继续沿单位圆按逆时针方向运动
???到达点
2?45?3到达点P2，若的点P2横坐标是?，则cos?的
值等于 ．
??????????????11．在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则MA?MB?MC?0”，设a，
b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果??????????3????aMA?bMB?cMC?0，则内角A的大小为
312．将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如上表，其中第i行第j个数表示为
*2011aij(i,j?N)，例如a32?16．若aij?2，则i?j? ．
13．.已知函数f(x)?mx3?nx2的图象在点(?1,2)处的切线恰好与直线3x?y?0平行，若f(x)在区间?t,t?1?上单调递减，则实数t的取值范围是 ． 14．已知函数f(x)?|1?为 ．
1x|,若0?a?b，且f(a)?f(b)，则2a?b的最小值
二、解答题：
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
????????3（1）若AB?BC＝?，b＝23，求a＋c的值；
（2）求2sinA?sinC的取值范围．
16. 如图，在四棱锥E?ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，
??AEB?90,BE?BC,F为CE的中点，
D C
求证（1）AE∥平面BDF； （2）平面BDF?平面ACE．
E
（第16题） A F B
17．如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数y＝Asin(?x??)(A＞0，?＞0，
?2＜?＜?)，x∈[－3，0]的图象，且图象的最高
点为B(－1，32)；赛道的中间部分为3千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心
?E．的一段圆弧D（1）求?，?的值和∠DOE的值；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域
内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE＝?，求当“矩形草坪”的面积最大时?的值．
18. 已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足2Sn?pan?2n，n?N*，其中常数p?2．
（1）证明：数列?an?1?为等比数列； （2）若a2?3，求数列?an?的通项公式； （3）对于（2）中数列?an?，若数列{bn}满足bn?log2(an?1)（n?N*），在bk与bk?1 之
间插入2k?1（k?N*）个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m,使得数列{cn} 的前m项的和Tm?2011?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.
19．圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦.若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦.已知点P(x0,y0)、M(m,n)是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点
F(xF,0).（Ⅰ）试用x0,y0,m,n的代数式分别表示xE和xF；
222（Ⅱ）已知“若点P(x0,y0)是圆C：x?y?R上的任意一点（x0?y0?0），MN是
垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则
xE?xF?R”. 类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为．．
2xa22?yb22?1(a?b?0)（如
图），则xE?xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明. ．．y M
P F O N
（第19题）
E x
20．已知：二次函数f(x)?ax2?bx?1，其中a,b?R，g(x)?ln(ex)，且函数
F(x)?f(x)?g(x)在x?1处取得极值.
（I）求a,b所满足的关系；
（II）若直线l：y?kx(k?R)与函数y?f(x)在x?[1,2]上的图象恒有公共点，求k的最小值；
（III）试判断是否存在a?(?2,0)?(0,2)，使得对任意的x?[1,2]，不等式
(x?a)F(x)?0恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明
理由.
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．3?2i 2． ?x?R,x2?2x?3?0 3． 4 4． 7．
2256 5．
67 6．乙
5213? 11． 12．122 13．1或 14．?2 2;?1???3，??? 10．8． 311 9．???，622二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15.解：（I）∵f?(x)?cosx?sinx， ???2分
∴ f?(x)?cosx?sinx=??2sin(x??4)，
所以y=f?(x)的最小正周期为T＝2π. ?5分
22（Ⅱ）F(x)?cosx?sinx?1?2sinxcosx?1?sin2x?cos2x?1?2sin(2x??4)，?9
分
∵x?[0,分
∴函数F(x)的值域为?0,1??2?. ???14分 ??2]，2x??4?[?5?4,4],∴sin(2x??4)?[?22,1]， ??12
16. （1）证明：在正方形ADD1A1中，因为CD?AD?AB?BC?5，
所以三棱柱ABC?A1B1C1的底面三角形ABC的边AC?5． 因为AB?3，BC?4，