loading1??2y＋z＝0，
→为不妨令x＝1，可得u＝(1，2，－1)．由(2)可知，AF?1
??－x＋2y＝0，
平面A1ED的一个法向量．
→2u·AF→于是cosu，AF＝＝，
→|3|u||AF5→从而sinu，AF＝. 3所以二面角A1EDF的正弦值为
5. 3
10．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE. (3)求二面角ABED的大小． 解析：(1) 设AC与BD交于点G. 1
因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1.
2所以四边形AGEF为平行四边形．
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所以AF∥平面EG，
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直，且CE⊥AC, 所以CE⊥平面ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.
?22?
则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)，F?，，1?，
2?2?
E(0，0，1)，D(2，0，0)．
?22?→→→＝(－2，0，所以CF＝?，，1?，BE＝(0，－2，1)，DE
2?2?
1)．
→·BE→＝0－1＋1＝0，CF→·DE→＝－1＋0＋1＝0， 所以CF
所以CF⊥BE，CF⊥DE.又BE∩DE＝E，BE?平面BDE，DE?平面BDE，
所以CF⊥平面BDE.
?2?2→(3)由(2)知，CF＝?，，1?是平面BDE的一个法向量．
2?2?
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→＝0，n·→＝0. 设平面ABE的法向量n＝(x，y，z)，则n·BABE
?（2，0，0）＝0，?（x，y，z）·
即? ?（0，－2，1）＝0.?（x，y，z）·
所以x＝0，且z＝2y，令y＝1，则z＝2.所以n＝(0，1，2)． →n·CF3→从而cosn，CF＝＝. 因为二面角ABED为锐角，
→|2|n||CFπ
所以二面角ABED的大小为.
6
11．(2015·新课标Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
解析：(1)如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
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在菱形ABCD中，不妨设GB＝1. 由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC. 2
在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝.
2
6
在Rt△FDG中，可得FG＝.
2
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝32＝.
2
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.
因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
→，GC→的方向为x轴，y轴(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB
→|为单位长度，建立空间直角坐标系G-正方向，|GBxyz.
?2?
?由(1)可得A(0，－3，0)，E(1，0，2)，F－1，0，?，C(0，
2??
2
，可得EF2
3，0)，
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?2?→→所以AE＝(1，3，2)，CF＝?－1，－3，?.
2??
→·CF→AE3→，CF→〉＝故cos〈AE＝－.
3→||CF→||AE所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为
3
. 3
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