loading2006年（上）高等教育自学考试全国统一命题考试
复变函数与积分变换试卷及答案详解
第一部分选择题
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设z=1+2i，则Imz3= ( ) A．－2 B．1 C．8 D．14
2．z=(1+cost)+i(2+sint)，0≤t＜2－n所表示的曲线为 ( ) A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 3. In（－1）为 ( ) A．无定义的 B．0
C．πi D．(2k +1)πi(k为整数) 4．设z=z+iy，则(1+i)z2的实部为 ( ) A．x2－y2+2xy B．x2－y2－2xy C．x2+y2+2xy D．x2+y2－2xy
5．设z=z+iy，解析函数f(z)的虚部为v=y3－3x2y，则f(z)的实部u可取为A．x3－3xy2 B．3xy2－x3 C．3x2y－y3 D．3y3－3x3 6．设C为正向圆周|z|=1，
A. O B. 1 C. πi D. 2πi 7．设C为从－i到i的直线段，
A. i B. 2i C. －i D. －2i 8．设C为正向圆周|z|=1，
( ) A．2πi·sinl B．－2πi C．0 D．2πi 9．
A．－1 B．0 C．1 D．不存在 10.以z=0为本性奇点的函数是
A．sinz/z B．1/[z(z－1)] C．(1－cosz)/z2 D．sin(1/z)
11．f(z)=1/ez－1在z=πi处的泰勒级数的收敛半径为 A．πi B．2πi C．π D．2π 12．
A.O B. 1/10! C. 1 D. 10! 13．设函数
，则Res[f(z)，－i]=
A．0 B．－ie/4 C．ie/4 D．e/4
14.把点z=l，i，－1分别映射为点w=∞，－1，0的分式线性映射为 A．w=(z－1)/(z+1) B．w=i(z+1)/(1－z) C．w=(z+1)/(1－z) D．w=i(z－1)/(z+1) 15.w=ez把带形区域0＜Imz＜2π映射成形平面上的 A．上半复平面 B．整个复平面
C．割去负实轴及原点的复平面 D．割去正实轴及原点的复平面
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 16. arg(3－i)=_______．
17.对数函数w=lnz的解析区域为____．
18．
19．
20.设C为正向圆周|ζ|=1，则当|z|＜1时,
三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.求方程z3+8=0的所有复根．
22．设u=x2－y2+xy是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy．求f′(z)并将它表示成z的函数形式．
23.设v=eaxslny，求常数a使v成为调和函数. 24．
25．
26．(1)求1/z在圆环域1＜|z－1|＜+∞内的罗朗级数展开式； (2)求争在圆环域1＜|z－1|＜+∞内的罗朗级数展开式． 27.求f(z)=Inz在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径． 28．
四、综合题（下列3个小题中，29题必做．30、31题中只选做一 1题。每小题10分，共20分）
29．(1)求f(z)=1/[(z2+1)(z2+4)]在上半平面的所有孤立奇点； (2)求f(z)在以上各孤立奇点的留数； (3)利用以上结果计算积分
30.设D是上半单位圆：Imz＞0，|z|＜1，求下列保角映射： (1)w1=f(z)把D映射为第Ⅱ象限D1，且f(l)=0； (2)w1=g(w1)把D1映射为第1象限D2； (3)w=h(w2)把D2映射为上半平面D3；
(4)求把D映射为D3的保角映射w=F(z)． 31．求函数2δ(t) －3f(t)的傅氏变换，其中
2006年（上）复变函数与积分变换试卷答案详解
一、1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.A 8.C 9.D 10.D 11.C 12.C 13.A 14.B 15.D
二、16. －arctan(1/3)或：arctan(－1/3)
17.去掉原点及负实轴的复平面，或－π＜argz＜π 18.0 19． 20．－4πi·sin2z
三、21.解：方程变为23=－8（1分）
22．解：δu/δx=2x+y，δu/δy=－2y+x（2分） f′(z)=( δu/δx)－i(δu/δy)=2z+y－i(x－2y) （4分） f′(z)=2(x+iy)－i(x+2y)=(2－i)z (5分)
23．解：因(δ2v/δx 2)+( δ2v/δy 2)=(a 2－1)eaxsiny(3分) 由于调和函数满足(δ2v/δx 2)+( δ2v/δy 2)=0 知(a 2－1)eaxsiny =0
得a 2－1=0，即a=±l（5分） 24．
25．解：当|a|＞l时,f(z)=ez/(z－a)3在|z|<1内解析，
26．
27．
收敛半径为2．（5分）
28.解：被积函数f(z)=1/z[z－(1+i)]
在|z|＜2内有两个一阶极点z=0，z=1+i(2分) Res[f(z),0]=－1/(1+i),Res[f(z)，l+i]=1/(1+i)
四、29.解：(1) f(z)在上半平面有两个一阶极点z=i和z=2i．（4分）
(3)f(z)在实轴上没有奇点，且分母的次数比分子的高四次 利用留数可得
I=2πi{Res[f(z),i]+Res[f(z),2i]} =2πi[(1/6i)－(1/12i)]=π/6（10分）
30．解：(1)w1=f(z)=(z－1)/(z+1)把D映为D1．（3分） (2)w12=g(w1)=－iw1把D1映为D2.（6分） (3)w=h(w2)=W22把D2映为D2.（9分）
(4)加=F(z)=－[(z－1)/(z+1)]把D映为D3．（10分）