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指数函数与对数函数
一、教学目标：1．掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质；
2．能利用指数函数与对数函数的性质解题．
二、教学重点：运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题． 三、教学过程： （一）主要知识：
1、指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它
们的区别和联系 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=ax(a>0且a≠1) y=logax(a>0,a≠1) 定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞) (-∞,+∞) 过定点 （０，1） （1，０） 图象 指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)图象关于y=x对称 单调性 a> 1,在(-∞,+∞)上为增函数 a>1,在(0,+∞)上为增函数 ０＜a<1,在(-∞,+∞)上为减函数 ０＜a<1,在(0,+∞)上为减函数 值分布 y>1?y<1? y>0?y<0? 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象：
3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，
讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。 （二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差 （三）例题分析：
例1已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1)，若f(3)×g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为（c）
-x
『变式』当a>1时，在同一坐标系中，函数f(x)=a与g(x)=logax的图象为（ ） 解:选A
[评析]利用函数的底数与图象关系。确定函数图象可能的情况
?3?例2、比较下列各数的大小：log20.35???5?12?3?lg25???5?13lg1523
解：（见轻舟P63）
『变式』比较①,,②当０ A.?1?a???1?a?C.?1?a???1?a?b1bbB.?1?a???1?b?aabb2D.?1?a???1?b? b解：①〈〈②评析]利用指对函数的单调性和图象的特点，比较几个因式的大小 例3、函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。 解：令u=ax,y=(u+1)2-2.因为-1≤x≤1 1当a>1时u?[,a]?[?1,??),?14?a2?2a?1?a?3或a??5(舍) a111?1??1?当0 aaa35????综上得，a?13或a?3 『变式』已知f(x)=log4(2x+3-x2)求（1）f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的最大值及对 应的x的值. 增区间为(-1,1],减为区间[1,3） ∵u=-(x-1)2+4≦4,∴x=1时y=1为最大值 [评析]指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径 例4、设函数f(x)=loga(x-3a)(a>0,a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)的图象上的点（1）写出函数y=g(x)的解析式 （2）若当x∈[a+2,a+3]时，恒有︱f(x)-g(x)︱≤1,试确定的取值范围。 解：（1）设点Q(x?,y?),则x??x?2a,y???y （2）?x?3a??a?2??3a??2a?2?011??0又a?0且a?1,?0?a?1 x?a?a?3??a2?0?a?1,?a?2?2a故函数r(x)=x2?4ax?3a2在区间x∈[a+2,a+3]上为增函数 0?a?1?9?57?问题转化为?loga?9?6a???1?0?a? 12?log?4?4a??1a?[评析]本题综合性较强，主要考查函数思想，化归思想，综合思维能力 1??a??x?【备用】已知a>0,a≠1，f?logax???2???. x??a?1??（1） 当f(x)的定义域为（-1,1）时，解关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0; （2） 若f(x)-4恰在(-∞,2)上取负值，求a的值 aat?a?t?f??x???f?x??f?x?为奇函数 解:（1）令t=logax,可得f(t)=2a?1??当a>1时ax1?ax2,a2?1?0当0 （2）由题意，当x????,2?,f?x??4?f?2??4,且f?2??4?0 [评析]用函数思想去处理有关问题，是一种重要的思想方法，特别在综合题目中，尤为重要． （四）巩固练习： b1．（1）若a2?b?a?1，则logb，logba，logab从小到大依次为； a（2）若2x?3y?5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为； （3）设x?0，且ax?bx?1（a?0，b?0），则a与b的大小关系是（） （A）b?a?1（B）a?b?1（C）1?b?a（D）1?a?b bb解：（1）由a2?b?a?1得?a，故logb?logba?1?logab． aalgtlgtlgt（2）令2x?3y?5z?t，则t?1，x?，y?，z?， lg2lg3lg52lgt3lgtlgt?(lg9?lg8)???0，∴2x?3y； ∴2x?3y?lg2lg3lg2?lg3同理可得：2x?5z?0，∴2x?5z，∴3y?2x?5z．（3）取x?1，知选（B）． x?22．已知函数f(x)?ax?(a?1)， x?1求证：（1）函数f(x)在(?1,??)上为增函数；（2）方程f(x)?0没有负数根． 证明：（1）设?1?x1?x2， x?2x?2?ax2?2则f(x1)?f(x2)?ax1?1 x1?1x2?1x?2x2?23(x1?x2)?ax1?ax2?1??ax1?ax2?， x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)∵?1?x1?x2，∴x1?1?0，x2?1?0，x1?x2?0， 3(x1?x2)?0； ∴ (x1?1)(x2?1)∵?1?x1?x2，且a?1，∴ax1?ax2，∴ax1?ax2?0， ∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，∴函数f(x)在(?1,??)上为增函数； x?2?0， （2）假设x0是方程f(x)?0的负数根，且x0??1，则ax0?0x0?12?x03?(x0?1)3???1，① 即ax0?x0?1x0?1x0?133?3，∴?1?2，而由a?1知ax0?1， 当?1?x0?0时，0?x0?1?1，∴ x0?1x0?1∴①式不成立； 当x0??1时，x0?1?0，∴ 33?0，∴?1??1，而ax0?0， x0?1x0?1∴①式不成立． 综上所述，方程f(x)?0没有负数根． 3．已知函数f(x)?loga(ax?1)（a?0且a?1）．（《高考A计划》考点15，例4）． 求证：（1）函数f(x)的图象在y轴的一侧； （2）函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0． 证明：（1）由ax?1?0得：ax?1， ∴当a?1时，x?0，即函数f(x)的定义域为(0,??)，此时函数f(x)的图象在y轴的右侧； 当0?a?1时，x?0，即函数f(x)的定义域为(??,0)，此时函数f(x)的图象在y轴的左侧． ∴函数f(x)的图象在y轴的一侧； （2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1?x2， y1?y2ax1?1x1x2则直线AB的斜率k?，y1?y2?loga(a?1)?loga(a?1)?logax2， x1?x2a?1当a?1时，由（1）知0?x1?x2，∴1?ax1?ax2，∴0?ax1?1?ax2?1， ax1?1?1，∴y1?y2?0，又x1?x2?0，∴k?0； ∴0?x2a?1当0?a?1时，由（1）知x1?x2?0，∴ax1?ax2?1，∴ax1?1?ax2?1?0， ax1?1?1，∴y1?y2?0，又x1?x2?0，∴k?0． ∴x2a?1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0． 四、小结： 1、指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系 2、比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。 五、作业：