loading根的判别式与根与系数的关系
【思维入门】
1．若5k＋20<0，则关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情况是 ( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
2．一元二次方程x2＋px－2＝0的一个根为2，则p的值为 A．1
B．2 C．－1 D．－2
( )
3．一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是 ( ) A．m>1
B．m＝1
C．m<1
D．m≤1
4．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
( )
A．k＜－2 C．k＞2
B．k＜2 D．k＜2且k≠1
2
5．方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x21＋x2＝4，则k的值为____．
6．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝____．
【思维拓展】
7．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两个根的平方和是5，则a的值是( ) A．－1或5 C．5
B．1 D．－1
8．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____． 9．一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两实数根，求m的范围；
(2)设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m.
10．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【思维升华】
11．如果方程(x－2)(x2－4x＋m)＝0的三根可以作为一个三角形三边之长，那么，实数m的取值范围是 A．0 ( ) B．m≥3 D．3 12．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2＋cx＋d＝0的两根为a，b，一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根为c，d，则所有满足条件的数组(a，b，c，d)为____． 13．已知关于x的方程x2－4x＋a＝0的两个实数根x1，x2满足3x1－x2＝0，则a ＝____． 114．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v.若关于x的方程x*(a*x)＝－4有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是____． 1 15．若实数a，b满足2a－ab＋b2＋2＝0，则a的取值范围是____． 16．关于x的方程x2＋(1－m)x＋m＋2＝0的两实数根之积等于m2－7m＋2，则m＋8的值是____． 根的判别式与根与系数的关系 【思维入门】 1．若5k＋20<0，则关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情况是 ( A ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 2．一元二次方程x2＋px－2＝0的一个根为2，则p的值为 A．1 B．2 C．－1 D．－2 ( C ) 3．一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是 ( D ) A．m>1 B．m＝1 C．m<1 D．m≤1 4．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( D ) A．k＜－2 C．k＞2 B．k＜2 D．k＜2且k≠1 2 5．方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x2 1＋x2＝4，则k的值为__1__． 6．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝__8__． 【思维拓展】 7．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两个根的平方和是5，则a的值是( D ) A．－1或5 C．5 B．1 D．－1 8．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝__－1__． 9．一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两实数根，求m的范围； (2)设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m. ?Δ＝（－2m）2－4m（m－2）≥0，解：(1)? ?m≠0.∴m＞0. (2)x1＋x2＝2，若x1＞x2，则x1－x2＝1， 3 ∴x1＝2，∴m＝8. 若x1＜x2，则x2－x1＝1， 1 ∴x1＝2，∴m＝8. ∴m＝8. 10．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：(1)把x＝－1代入方程得2a－2b＝0， ∴a＝b. ∴△ABC是等腰三角形． (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0. ∴b2＋c2＝a2. ∴△ABC是直角三角形． (3)∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴原方程变为2ax2＋2ax＝0. ∵a≠0，∴x1＝0，x2＝－1. 【思维升华】 11．如果方程(x－2)(x2－4x＋m)＝0的三根可以作为一个三角形三边之长，那么，实数m的取值范围是 ( D ) A．0 【解析】 ∵方程(x－2)(x2－4x＋m)＝0有三根， ∴x1＝2，x2－4x＋m＝0有根，方程x2－4x＋m＝0的Δ＝16－4m≥0，得m≤4. 又∵原方程有三根，且为三角形的三边长， ∴有x2＋x3＞x1＝2，|x2－x3|＜x1＝2，由根与系数的关系得x2＋x3＝4＞2，x2x3＝m成立． 当|x2－x3|＜2时，两边平方得(x2＋x3)2－4x2x3＜4. 代入相应数据得16－4m＜4，解得m＞3. ∴3＜m≤4.故选D. 12．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2＋cx＋d＝0的两根为a，b，一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根为c，d，则所有满足条件的数组(a，b，c，d)为__(1，－2，1，－2)与(t，0，－t，)(t为任意实数)__． 【解析】 由根与系数的关系知a＋b＝－c，ab＝d，c＋d＝－a，cd＝b，可知b＝－a－c＝d. db 若b＝d≠0，则a＝b＝1，c＝d＝1，b＝d＝－a－c＝－2； 若b＝d＝0，则c＝－a，有(a，b，c，d)＝(t，0，－t，0)(t为任意实数)． 经检验，数组(1，－2，1，－2)与(t，0，－t，0)(t为任意实数)满足条件． 13．已知关于x的方程x2－4x＋a＝0的两个实数根x1，x2满足3x1－x2＝0，则a ＝__3__． 【解析】 因为关于x的方程x2－4x＋a＝0的两个实数根为x1，x2，由根与系数的关 ?3x1－x2＝0，?x1＝1， 系得x1＋x2＝4，所以?解得?所以a＝3. ?x1＋x2＝4，?x2＝3， 1 14．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v.若关于x的方程x*(a*x)＝－4有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是__a>0或a<－1__． 112 【解析】 由x*(a*x)＝－4，得(a＋1)x＋(a＋1)x＋4＝0，依题意得?a＋1≠0，?解得a>0或a<－1. 2 ?Δ＝（a＋1）－（a＋1）>0， 1 15．若实数a，b满足2a－ab＋b2＋2＝0，则a的取值范围是__a≤－2或a≥4__． 1 【解析】 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b－ab＋2a＋2＝0， ?1?a＋2?≥0，解得a≤－2或a≥4. Δ＝(－a)2－4×1×??2? 2 16．关于x的方程x2＋(1－m)x＋m＋2＝0的两实数根之积等于m2－7m＋2，则m＋8的值是__4__． 【解析】 由题意得m＋2＝m2－7m＋2，解得m1＝0，m2＝8，当m1＝0时，原方程无实数根，当m2＝8时，原方程有两个不相等的实数根，所以m＋8＝16＝4.