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第1章 函 数
§1.1 函数的概念与性质
1. 绝对值与不等式（a?0，b?0）
（1）?x?x?x；x?y?x?y?x?y （2）
211?ab?ab?a?b（调和平均值?几何平均值?算术平均值） 2x1?x2?n?xn一般地，
n11??x1x21?xn?nx1x2xn?
（3）max?a,b??a?ba?ba?ba?b??；min?a,b?? 22222. 函数概念与性质
对变量x?D的每一个确定值，变量y按某确定规则f，都有一确定值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为y?f(x)，x?D。
注意：定义域D和对应规则f是函数相等的两要素。 （1）无关性 y?f(x)?f(t) x,t?D （2）单调性 ?x1,x2?I,x1?x2
?f(x1)?f(x2)???f(x1)?f(x2)?（3）奇偶性 ?f(x)单调递增?f(x1)?f(x2)?；?f(x)单调递减?f(x1)?f(x2)?f(x)严格单增
f(x)严格单减?f(?x)?f(x)??f(?x)??f(x)?f(x)为偶函数，对称于y轴
f(x)为奇函数，对称于原点注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。
（4）周期性 f(x?T)?f(x)，T?0为f(x)的周期。
（5）有界性 若?x?D，f(x)?M，?M?0?，则称f(x)在D上有界。 常用有界函数：sinx?1，cosx?1，(??,??)；
arcsinx??2，arccosx??，??1,1?；arctanx??2，arccotx??，(??,??)
3. 复合函数
设y?f(u)的定义域为Df，u??(x)的值域为Z?，且Df?Z???（空集），则称
y?f??(x)?为x的复合函数。
4. 反函数 设?定义域为Df??y?f(x)?1??y?f(x)定义域为Zf值域为Zf值域为Df
注意：正反函数的图形对称于直线y?x；严格单调函数必有反函数；
?1?1?x?f(x)的Z ；f?f(x)?xf?f(x)??x x?f(x)的Df f??5. 初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
基本初等函数：幂函数y?x（?为实数）；指数函数y?a（a?0，a?1）；对数函数y?logax（a?0，a?1）；三角函数y?sinx，cosx，tanx，cotx，secx，cscx；反三角函数y?arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx.
６. 分段函数与幂指函数
分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示； 幂指函数y?x一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定
x?xx?0，则y?xx?exlnx，是初等函数。
§1.2 典型例题解析
例3 已知不等式2x?1?x?1，用区间表示不等式的解集 分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于x??零值点，于是将区间划分为(??,?)，(?及端点，最后综合得出结论。
1，x?1分别为2x?1，x?1的2121,1)，(1,??)，再考虑各小区间x的取值范围211???2x?1?1?x(??,?)x??2(??,?)??22??11??解法1 2x?1?x?1??2x?1?1?x(?,1)??x?0(?,1)
22???2x?1?x?1(1,??)?x??2(1,??)????? x?(??,?2)(0,??)
解法2 (2x?1)?(x?1) ? x(x?2)?0 ? x?(??,?2)22(0,??)
1. 函数定义域的求法
解题思路
（1）分式的分母?0，对数的真数?0，偶次方根下的表达式?0，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值?1；
（2）复合函数的定义域?简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。 例4 求下列函数的定义域
（2）已知f(x)的定义域是?0,1?，试求f(x?a)?f(x?a) (a?0)的定义域 解（2） f(x?a)的定义域：0?x?a?1 ? ?a?x?1?a
f(x?a)的定义域：0?x?a?1 ? a?x?1?a； f(x?a)?f(x?a)的定义域：x???a,1?a?2. 函数解析式的求法 解题思路
（1）将已知变量凑成与f()内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解； （2）对f()内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。 （3）由f将其代入f?a,1?a?
??(x)?的表达式求f(x)的一般方法是令u??(x)，从中解出x???1(u)，
??(x)?中可得f(u)
1x例5 求下列函数解析式
（2）已知af(x)?bf(?)?sinx，(a?b), 求f(x)； 解 令t??111代入原式得 bf(t)?af(?)?sin，则 xtt1?af(x)?bf(?)?sinx?11x(asinx?bsin) ? f(x)?2?211a?bx?bf(x)?af(?)?sinxx?