loading二次函数 典型习题
1.抛物线y＝x＋2x－2的顶点坐标是 （ D ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） 2.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0
AEFDC2
B
第２,３题图 第4题图
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
4.如图，已知?ABC中，BC=8，BC上的高h?4，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则?DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（ Ｄ ） y4444O2A4xO2B4O2C4O2D4
EF4?x??EF?8?2x,?y??x2?4x 84
5. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交 x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( C )
A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m
6.抛物线y?x?2x?3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ．
7.已知二次函数y＝kx＋(2k－，则对于下1)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2）
22列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当x＞x2时，y＞0；③方程kx2＋(2k－1)x?1＝0有
1＋4k2两个不相等的实数根x1、x2；④x1＜?1，x2＞－，其中所有正1；⑤x2－x1＝k确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．
8.已知二次函数y?ax2?bx?c中，a?b?c= 2，则该函数必过 (1，2) 这个点 9.求二次函数y?x2?4x?5在-3 10.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为?2,0,1时, 相应的输出值分别为5,?3,?4． （1）求此二次函数的解析式； （2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为y?ax2?bx?c, ?a(?2)2?b(?2)?c?5?c??3?a?1????则?a?02?b?0?c??3,即?2a?b?4 ,解得?b??2 ?a?b?c??4?c??3?a?b??1????故所求的解析式为:y?x2?2x?3. （2)函数图象如图所示. 由图象可得，当输出值y为正数时， 输入值x的取值范围是x??1或x?3． 11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值； （2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值. 解: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根. ∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ; 又AB＝∣x1 — x2∣＝（x1+x2）?4x1x2?5 , 2y C ∴m2－4m＋3=0 . 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(－a，－b) . ∵M、N是抛物线上的两点, M O x N 2???a?ma?m?2?b,①∴? 2???a?ma?m?2??b.②①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 . ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N. ∴a??2?m . 这时M、N到y轴的距离均为2?m, 又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 , ∴2× 1×（2－m）×2?m=27 . 2∴解得m=－7 . 12..某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大. 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式： 总利润=单个商品的利润×销售量. 这里我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是(13.5-x)元了. 单个的商品的利润是(13.5-x-2.5) 这时商品的销售量是(500+200x) 总利润可设为y元. 利用上面的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润. 解：设销售单价为降价x元. 顶点坐标为(4.25，9112.5). 即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5-4.25=9.25时，可取得最大利润9112.5元 13.已知二次函数的图象如图所示． （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标． （2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 解：（1）设抛物线的解析式y?a(x?1)(x?2)， ∴ ?2?a?1?(?2)．∴ a?1．∴ y?x2?x?2． 其顶点M的坐标是?，??1?29??． 4? （2）设线段BM所在的直线的解析式为y?kx?b，点N的坐标为N（t，h）， ?0?2k?b，3? ∴ ?91．解得k?，b??3． 2??k?b.??423x?3． 213112321 ∴ h?t?3，其中?t?2．∴ s??1?2?(2?t?3)t?t?t?1． 22223421321 ∴ s与t间的函数关系式是S?t?t?1，自变量t的取值范围是?t?2． 242 ∴ 线段BM所在的直线的解析式为y? （3）存在符合条件的点P，且坐标是P1?，?，P2?，? 设点P的坐标为P(m，n)，则n?m?m?2． 2?57??24??3?25??． 4?PA2?(m?1)2?n2，PC2?m2?(n?2)2，AC2?5． 分以下几种情况讨论： i）若∠PAC＝90°，则PC?PA?AC． 2222??n?m?m?2， ∴ ? 2222??m?(n?2)?(m?1)?n?5. 解得：m1?5?57?，m2??1（舍去）． ∴ 点P1?，?． 2?24?222 ii）若∠PCA＝90°，则PA?PC?AC． 2??n?m?m?2， ∴ ? 2222??(m?1)?n?m?(n?2)?5. 解得：m3?35??3，m4?0（舍去）．∴ 点P2?，－?． 24??2 iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA?AC，所以边AC的对角∠APC不 可能是直角． （4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或 边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2）， 以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b， 此时未知顶点坐标是E??，?，F?，??． ?12??55??4?58?5? 图a 图b