loading第2课时 简单的三角恒等变换
三角函数式的化简
1．化简：sin 2α－2cos2α
＝________.
sin?α－π?4??答案 22cos α
解析 原式＝2sin αcos α－2cos2α
2
＝22cos α.
2
?sin α－cos α??1＋sin α＋cos α??2．当π<α<2π时，化简：?sin α2
－cos α2??2＋2cos α＝________.
答案 cos α
?2cos2α＋2sin αcos α??sin α－cos α解析 原式＝
?
222??22?? 4cos2
α2
2cos α
?cos ααα＝2?2＋sin 2????sin 2－cos α2??
2?cos α?2??cos α
?－cos α＝2?
?.
?cos α2??
∵π<α<2π，∴παα
2<2<π.∴cos 2<0.
－cos α
cos ∴原式＝2
α
＝cos α.
－cos
α2
3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2cos 2αcos 2β＝________.
答案 12
解析 方法一(从“角”入手，化复角为单角) 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－1
2
1
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
2111
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
222
方法二(从“名”入手，化异名为同名)
1
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β
21
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
21
＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β
21
sin2α＋cos 2α? ＝cos2β－cos 2β?2??＝
1＋cos 2β11－cos 2β＝. 222
sin?2α＋β?4．化简：－2cos(α＋β)．
sin αsin?2α＋β?－2sin αcos?α＋β?
解 原式＝ sin α＝＝＝＝
sin[α＋?α＋β?]－2sin αcos?α＋β?
sin α
sin αcos?α＋β?＋cos αsin?α＋β?－2sin αcos?α＋β?
sin αcos αsin?α＋β?－sin αcos?α＋β?
sin αsin[?α＋β?－α]sin β
＝.
sin αsin α
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
三角函数的求值
命题点1 给角求值
23ππ2π
－?＝________. 例1 (1)cos ·cos ·cos??9?991
答案 －
8
23ππ2π
－? 解析 cos ·cos ·cos??9?99
＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－
sin 20°1
sin 40°·cos 40°·cos 80°2＝－ sin 20°1
sin 80°·cos 80°4＝－ sin 20°1
sin 160°8＝－
sin 20°1
sin 20°81＝－＝－. sin 20°8sin 10°(2)＝________. 1－3tan 10°1答案 4解析 ＝
sin 10°sin 10°cos 10°
＝
1－3tan 10°cos 10°－3sin 10°
2sin 10°cos 10°sin 20°1
＝＝.
－10°?413?4sin?30°4?cos 10°－sin 10°
2?2?
命题点2 给值求值
π10?0，π?，则sin?2θ－π?＝________. θ＋?＝例2 (1)已知cos?，θ∈3??4?10?2??答案
4－33 10
π2θ＋?1＋cos?2?1?π?π44?2θ＋2θ＋?＝－sin 2θ＝－，解析 由题意可得cos?4?＝＝，cos?即sin 2θ＝. 2??21055π10?0，π?， θ＋?＝因为cos?>0，θ∈?4?10?2?ππ
0，?， 所以0<θ<，2θ∈??2?4
3
根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，
5
πππ2θ－?＝sin 2θcos －cos 2θsin 由两角差的正弦公式，可得sin?3??3341334－33＝×－×＝. 525210
π?317sin 2x＋2sinx7
＋x＝，π 答案 － 75 17π7π 解析 ∵ 1245ππ ∴<＋x<2π. 34π?3 又cos??4＋x?＝5， π?4 ＋x＝－， ∴sin??4?5π?π?∴cos x＝cos???4＋x?－4 2 ?? π?πππ2 ＋xcos ＋sin?＋x?sin ＝－. ＝cos??4?4?4?41072 ∴sin x＝－，tan x＝7. 10 sin 2x＋2sin2x2sin xcos x＋2sin2x∴＝ 1－tan x1－tan x 72??272?22×?－×－?＋2×?－?10??10??10?28＝＝－. 751－7命题点3 给值求角 273 例3 已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝3，则cos 2α＝________，2α－β＝________. 7141π 答案 73 271 解析 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 773 又α，β为锐角，sin β＝3， 14所以sin α＝ 2113，cos β＝， 714 43因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 7 43131333 所以sin(2α－β)＝×－×＝. 7147142因为α为锐角，所以0<2α<π. π 又cos 2α>0，所以0<2α<， 2