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一.选择题
1. （2019?湖北武汉?3分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是
（异于A.B）上两点，C是
上一动
点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（ ）
A．
B．
C．
D．
，点C【分析】如图，连接EB．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是的运动轨迹是决问题．
【解答】解：如图，连接EB．设OA＝r．
，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解
∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵E是△ACB的内心， ∴∠AEB＝135°， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴
＝
，
∴AD＝DB＝r，
∴∠ADB＝90°，
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是
，点C的运动轨迹是，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
2. （2019?湖南衡阳?3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a﹣t；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）＝t﹣2at+2a，根据函数关系式即可得到结论； 【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵EF⊥BC，ED⊥AC， ∴四边形EFCD是矩形， ∵E是AB的中点， ∴EF＝AC，DE＝BC，
2
2
2
2
2
∴EF＝ED，
∴四边形EFCD是正方形， 设正方形的边长为a，
如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a﹣t； 当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）＝t﹣2at+2a， ∴S关于t的函数图象大致为C选项， 故选：C．
2
2
22
2
【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
3. （2019?浙江衢州?3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A B C D
【答案】 C
【考点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当点P在AE上时， ∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
∵P点经过的路径长为x， ∴PE=x， ∴y=S△CPE=
·PE·BC=
×x×4=2x，
②当点P在AD上时，
∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
∵P点经过的路径长为x， ∴AP=x-2，DP=6-x，
∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC ， =4×4-
×2×4-
×2×（x-2）-
×4×（6-x），
=16-4-x+2-12+2x， =x+2，
③当点P在DC上时，
∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
∵P点经过的路径长为x， ∴PD=x-6，PC=10-x， ∴y=S△CPE=
·PC·BC=
×（10-x）×4=-2x+20，
综上所述：y与x的函数表达式为：
y= .
故答案为：C.
【分析】结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.
4. （2019?甘肃武威?3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数
关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于
AB的一元二方程可求解．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3． ∴AB?
＝3，即AB?BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7， ∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB?BC＝12，得AB﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3， 因为AB＜AD，即AB＜BC， 所以AB＝3，BC＝4． 故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 5. 2.
(2019甘肃省天水市)已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
2
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B.C选项不正确；
A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；
D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值． 故选：D．
先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
6. 7. 8. 9. 10. 二.填空题 1.
（2019?浙江嘉兴?4分）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 （24﹣12面积最大值为 （24+36﹣12） cm．
2
） cm；连接BD，则△ABD的
【分析】过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，由直角三角形的性质可得BC＝4＝8
cm，ABcm，ED＝DF＝6cm，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N＝D'M，即点D'在射线CD上移动，且当E'D'⊥AC时，DD'值最大，则可求点D运动的路径长，由三角形面积公式可求S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24大值．
【解答】解：∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45° ∴BC＝4
+（12﹣4
）×D'N，则E'D'⊥AC时，S△AD'B有最
cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F' ∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS） ∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM ∴CD'平分∠ACM
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动， ∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝
ED﹣CD＝（12﹣6）cm
）＝（24﹣12
）cm
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6如图，连接BD'，AD'，
∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值， ∴S△AD'B最大值＝24故答案为：（24﹣12
+（12﹣4），（24
+36
）×6﹣12
＝（24）
+（12﹣4）×D'N
+36﹣12）cm．
2
【点评】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键．
三.解答题
1. （2019?广东?7分）如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
323373x?x - 与x轴交848于点A.B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点．点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE． （1）求点A.B.D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如题25-2图，过顶点D作DD1⊥x 轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥ x轴，
点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？ ．．．．
【答案】 （1）解：由y=
3233733?x?3?-23得点D坐标为（﹣3，23） x?x - =
8488令y=0得x1=﹣7，x2=1
∴点A坐标为（﹣7，0），点B坐标为（1，0） （2）证明：
过点D作DG⊥y轴交于点G，设点C坐标为（0，m） ∴∠DGC=∠FOC=90°，∠DCG=∠FCO ∴△DGC∽△FOC ∴
DGCG ?FOCO由题意得CA=CF，CD=CE，∠DCA=∠ECF，OA=1，DG=3，CG=m+23 ∵CO⊥FA ∴FO=OA=1 ∴
3m?23?，解得m=3 （或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b，用D.F两点坐标求出1my=3x+3，再求出点C的坐标）
∴点C坐标为（0，3） ∴CD=CE=3?∵tan∠CFO=
2?3?23?2=6
CO=3 FO∴∠CFO=60° ∴△FCA是等边三角形 ∴∠CFO=∠ECF ∴EC∥BA ∵BF=BO－FO=6 ∴CE=BF
∴四边形BFCE是平行四边形
（3）解：①设点P坐标为（m，
323373m?m-），且点P不与点A.B.D重合．若△PAM与△848DD1A相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等．由（1）得AD1=4，DD1=23
（A）当P在点A右侧时，m＞1
（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时P、A.D三点共线，这种情况不存在 （b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时
PMAD1? AMDD1323373m?m-48?4，解得m1=-5（舍去）∴8，m2=1（舍去），这种不存在
m-1323（B）当P在线段AB之间时，﹣7＜m＜1
（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时P与D重合，这种情况不存在 （b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时
PMAD1? AMDD1323373m?m-48?4，解得m1=-5，m2=1（舍去） ∴8m-1323（C）当P在点B左侧时，m＜﹣7
（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时
PMDD1? AMAD1323373m?m-48?243，解得m1=﹣11，m2=1（舍去） ∴﹣8m-1243（b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时
PMAD1? AMDD1323373m?m-48?4，解得m1=-37，m2=1（舍去） ∴﹣8m-1323综上所述，点P的横坐标为-537，﹣11，-，三个任选一个进行求解即可．
33②一共存在三个点P，使得△PAM与△DD1A相似．
【考点】二次函数的综合应用，旋转的性质，相似三角形的的应用，等边三角形的性质，平行四边形
的证明，平面直角坐标的灵活应用，动点问题，分类讨论思想 2.
（2019?江苏泰州?12分）如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C.D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段
AB相交于点F（点F与点A.B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由； （3）求△AEF的周长．
【分析】（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解； （2）△AEP≌△CEP，则∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，则∠BAP＝∠FCP，又∠FCP+∠CMP＝90°，则∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；
（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则 CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解． 【解答】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形， ∴DP平分∠APC，PC＝PA， ∴∠APD＝∠CPD＝45°， ∴△AEP≌△CEP（AAS）； （2）CF⊥AB，理由如下： ∵△AEP≌△CEP， ∴∠EAP＝∠ECP， ∵∠EAP＝∠BAP， ∴∠BAP＝∠FCP，
∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP， ∴∠AMF+∠PAB＝90°， ∴∠AFM＝90°， ∴CF⊥AB；
（3）过点 C 作CN⊥PB．
∵CF⊥AB，BG⊥AB， ∴FC∥BN，
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB， 又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB（AAS）， ∴CN＝PB＝BF，PN＝AB， ∵△AEP≌△CEP， ∴AE＝CE， ∴AE+EF+AF ＝CE+EF+AF ＝BN+AF ＝PN+PB+AF ＝AB+CN+AF ＝AB+BF+AF ＝2AB ＝16．
【点评】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明△PCN≌△APB（AAS），是本题的关键．
3.（(2019，山西，13分）综合与探究
如图，抛物线y?ax?bx?6经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1?m?4).连接AC，BC，DB，DC. （1）求抛物线的函数表达式； （2）△BCD的面积等于△AOC的面积的
23时，求m的值； 4（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】.解：（1）抛物线y?ax?bx?c经过点A（-2，0），B（4，0），
23?a????4a?2b?6?0323?4∴?，解得?，∴抛物线的函数表达式为y??x?x?6
42?16a?4b?6?0?b?3?2?（2）作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F. ∵点A的坐标为（-2，0），∴OA=2
由x?0，得y?6，∴点C的坐标为（0，6），∴OC=6 ∴S△OAC=
11339?OA?OC??2?6?6，∵S△BCD=S△AOC=?6? 224423??4k?n?0?k??设直线BC的函数表达式为y?kx?n，由B，C两点的坐标得?，解得?2
n?6???n?6∴直线BC的函数表达式为y??∴点G的坐标为(m,?3x?6. 233333m?6),∴DG??m2?m?6?(?m?6)??m2?3m 2422412111?DG?BE??DG(CF?BE)??DG?BO 222∵点B的坐标为（4，0），∴OB=4
S△BCD=S△CDG+S△BDG=?DG?CF?=（?∴?12323m?3m）?4??m2?6m 42329，m2?3，∴m的值为3 m?6m?，解得m1?1（舍）
22
（3）M1(8,0),M2(0,0),M3(14,0),M4(?14,0)
如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图 以BD为边进行构图，有3种情况，采用构造全等发进行求解. ∵D点坐标为(3,1515)，所以N1,N2的纵坐标为 443315?x2?x?6?，解得x1??1,x2?3（舍） 424可得N2(?1,15),?M2(0,0) 41532315时，?x?x?6??，x1?1?14,x2?1?14 4424∴N3,N4的纵坐标为?∴N3(1?14,?1515),?M3(14,0)，N4(1?14,?),?M4(?14,0) 44以BD为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解. ∵N1(?1,151515),?M1(3?4?(?1),?0?),?M1(8,0) 444
4. （2019?湖南湘西州?22分）如图，抛物线y＝ax+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C.D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是
2
CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为的坐标；若不存在，请说明理由；
？若存在，求出点P（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线
KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D.E，用待定系数法即求出其解析式．
（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点
M、M'、N、N'坐标，即求得答案．
（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在
x轴下方的条件．
（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．
【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax+bx经过点D.E ∴
解得：
2
∴抛物线的解析式为y＝x﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N' ∵y＝x﹣4x＝（x﹣4）﹣8 ∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C.D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6） ∴yC＝yD＝﹣6，即点C.D关于直线x＝4对称 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上 ∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N为CD中点 ∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝∴四边形MNGF周长最小值为12
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D（2，﹣6） ∴OD＝
，直线OD解析式为y＝﹣3x
2
2
2
＝2
．
+10＝12
．
设点P坐标为（t，t﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t） ①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧 ∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t﹣4t）＝﹣t+t
∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE?xP+PE?（xD﹣xP）＝PE（xP+xD﹣xP）＝PE?xD＝PE＝﹣t+t ∵△ODP中OD边上的高h＝∴S△ODP＝OD?h ∴﹣t+t＝×2方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧 ∴PE＝yP﹣yE＝t﹣4t﹣（﹣3t）＝t﹣t
∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE?xP﹣PE?（xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE?xD＝PE＝t﹣t ∴t﹣t＝×2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，
×
×
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L ∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4 ∴K（m，0），L（2+m，0） 连接AC，交KL于点H ∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD ∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC ∴△AHK∽△CHL ∴
．
∴AH＝CH，即点H为AC中点 ∴H（4，﹣3）也是KL中点 ∴∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．
【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式．易错的地方有第（1）题对点D.C.B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明．
5. （2019?湖南岳阳?10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形
ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E.F重合），过点P分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边
形PMQN．
（1）如图1，求证：BE＝BF；
（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长； （3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）
【分析】（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）． （2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM+PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
（3）①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，可得BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝
，由此即可解决问题．
．
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF．
（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．
∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2，
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝
＝
，
∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴?BF?EH＝?BE?PM+?BF?PN， ∵BE＝BF， ∴PM+PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2
．
（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．
∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝
，
∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，
∴BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH， ∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝
．
．
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．
6. （2019?湖南岳阳?10分）如图1，△AOB的三个顶点A.O、B分别落在抛物线F1：y＝x+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧） （1）求点A.B的坐标；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；
（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2
2
【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线F1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．
（2）根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，进而求得对称轴．设点M纵坐标为m，则能用m表示A'M、OM的长度．因为点A'恰好在以OM为直径的圆上，即∠OA'M为圆周角，等于90°，故能根据勾股定理列得关于m的方程，解方程求得m的值即求得A'M的长，OA'?A'M即求得△OA'M的面积．
（3）求直线OB'解析式，与抛物线F2解析式联立方程组，求解即求得点C坐标，发现A'与C纵坐标相同，即A'C∥x轴，故∠OA'C＝135°．以A.O、D为顶点的三角形要与△OA'C相似，则△AOD必须有一角为135°．因为点A（﹣4，﹣4）得直线OA与x轴夹角为45°，所以点D不能在x轴或
y轴的负半轴，在x轴或y轴的正半轴时，刚好有∠AOD＝135°．由于∠AOD的两夹边对应关系不明
确，故需分两种情况讨论：△AOD∽△OA'C或△DOA∽△OA'C．每种情况下由对应边成比例求得OD的长，即得到点D坐标．
【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）+×（﹣4）＝﹣4 ∴点A坐标为（﹣4，﹣4） 当y＝﹣2时，x+x＝﹣2 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6 ∵点A在点B的左侧 ∴点B坐标为（﹣1，﹣2）
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2 ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB' ∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°
2
2
∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90° ∴∠B'OG＝∠OBE 在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE（AAS） ∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1 ∵点B'在第四象限 ∴B'（2，﹣1）
同理可求得：A'（4，﹣4） ∴OA＝OA'＝
2
∵抛物线F2：y＝ax+bx+4经过点A'、B' ∴
解得：
∴抛物线F2解析式为：y＝x﹣3x+4 ∴对称轴为直线：x＝﹣
＝6
2
∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）
∴OM＝6+m，A'M＝（6﹣4）+（m+4）＝m+8m+20 ∵点A'在以OM为直径的圆上 ∴∠OA'M＝90° ∴OA'+A'M＝OM ∴（4
）+m+8m+20＝36+m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解得：m＝﹣2 ∴A'M＝
∴S△OA'M＝OA'?A'M＝
（3）在坐标轴上存在点D，使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似． ∵B'（2，﹣1）
∴直线OB'解析式为y＝﹣x
＝8
解得：（即为点B'）
∴C（8，﹣4） ∵A'（4，﹣4） ∴A'C∥x轴，A'C＝4 ∴∠OA'C＝135°
∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°
∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°
∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似 ∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2.图3） ①若△AOD∽△OA'C，则∴OD＝A'C＝4
∴D（4，0）或（0，4） ②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝
＝1
OA'＝8
∴D（8，0）或（0，8）
综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第（2）题求点旋转90°后对应点的坐标，第（3）题相似三角形存在性问题中确定一角对应再分两种情况讨论，属于常考题型．
7. （2019?湖南邵阳?10分）如图，二次函数y＝﹣x+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A.B两点，过A.B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D.点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，
2
P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直
线AC于点F，问：以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由AQ∥EF且以A.E.F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ＝EF，分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况找出AQ，EF的长，由AQ＝EF可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x+bx+c，得：
2
，解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x+x． （2）当y＝m时，﹣x+x＝m， 解得：x1＝4﹣∴点A的坐标为（4﹣∴点D的坐标为（4﹣∵矩形ABCD为正方形， ∴4+
﹣（4﹣
）＝m， ，x2＝4+
，
，m）， ，0）．
2
2
，m），点B的坐标为（4+，0），点C的坐标为（4+
解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4． ∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0）， 将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：
，解得：
，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
当x＝2+t时，y＝﹣x+x＝﹣t+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4， ∴点E的坐标为（2+t，﹣t+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）． ∵以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF， ∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t+t， ∴t＝﹣t+t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4；
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t+t， ∴t﹣4＝﹣t+t，
解得：t3＝﹣2（舍去），t4＝6；
2
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2
2
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2
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2
③当7＜t≤8时，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣t+t+4）＝t﹣t， ∴t﹣4＝t﹣t， 解得：t5＝5﹣
（舍去），t6＝5+
（舍去）．
2
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综上所述：当以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于
m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一
元二次方程．
1、一知多识广有本领的人，一定谦虚。——谢觉哉 2、人若勇敢就是自己最好的朋友。 半解的人，多不谦虚；见 3、尺有所短；寸有所长。物有所不足；智有所不明。——屈原 4、功有所不全，力有所不任，才有所不足。——宋濂 5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。 6、游手好闲会使人心智生锈。