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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
【答案】2.5m. 【解析】
试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=值．
试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=∴CF=tan又∵CB=4， ∴BF=4－，
∵AB=6，DE=1，BM= DF=， ∴AN=5－，EN=DM=BF=4－， 在Rt△ANE中，∠EAB=tan
=
，EN=4－，AN=5－，
·DF=，
，
，利用∠EAB的正切值解得x的
=0．60，
解得=2．5，
答：DM和BC的水平距离BM为2．5米． 考点：解直角三角形．
2．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6
cm．
（1）AE的长为 cm；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离．
【答案】（1）【解析】
；（2）12cm；（3）
cm．
试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6
cm，∴AC=12cm．
∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=
cm．
（cm）．
（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．
（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离． 试题解析：解：（1）
．
（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°， ∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．
∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°． ∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′． ∴点E，D′关于直线AC对称．
如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′． ∵△ADE是等边三角形，AD=AE=∴
，
，即DP+EP最小值为12cm．
（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G， ∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′， ∵AE=EC，∴AD′=CD′=
．
在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′cm，
，
（不合题意舍去）． cm．
（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB． 设D′G长为xcm，则CG长为在Rt△GD′C中，由勾股定理得解得：
∴点D′到BC边的距离为
考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．
3．如图，已知正方形
在直角坐标系
中，点
分别在轴、轴的正半轴上，点
分别在的位置，连结
上，且
在坐标原点.等腰直角三角板
将三角板
的直角顶点在原点，绕点逆时针旋转至
（1）求证：（2）若三角板
绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得
若存在，请
求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】
（1）证明：∵四边形
为正方形，∴
或