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第一章 函数
一、选择题
1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数
A. y?tanx?x B. y?x
C. y?(x?1)?(x?1) D.
22y??sinxx2. 下列各组中，函数f(x)与g(x)一样的是【 】
A. B.33
f(x)?x,g(x)?xf(x)?1,g(x)?sec2x?tan2x
C. x2?1 D. f(x)?2lnx,g(x)?lnx2
f(x)?x?1,g(x)?x?13. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】
A. y?x+arctanx B. y?cosx
C. y?arcsinx
D. y?x?sinx
4. 下列函数中，定义域是[??,+?],且是单调递增的是【 】
A. y?arcsinx B. y?arccosx C. y?arctanx D. y?arccotx 5. 函数y?arctanx的定义域是【 】
A. (0,?) B. ??
(?,)22C. ?? D. (??,+?)
[?,]226. 下列函数中，定义域为[?1,1]，且是单调减少的函数是【 】
A. y?arcsinx B. y?arccosx C. y?arctanx D. y?arccotx 7. 已知函数y?arcsin(x?1)，则函数的定义域是【 】
A. (??,??)
C. (??,?)
8. 已知函数y?arcsin(x?1)，则函数的定义域是【 】
A. (??,??)
C. (??,?)
【 A 】是相同的函数 9. 下列各组函数中，
A. f(x)?lnx2和 B.
B. [?1,1]
D. [?2,0]
B. [?1,1] D. [?2,0]
g?x??2lnxf(x)?x和
g?x??x2 C. f(x)?x和 D. f(x)?sinx和g(x)?arcsinx
g?x??(x)210. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】
A. f(x)?cosx B. f(x)?arccosx
C. f(x)?tanx D. f(x)?arctanx 11. 反正切函数y?arctanx的定义域是【 】
A. ?? B. (0,?)
(?,)22
C. (??,??) D. [?1,1]
12. 下列函数是奇函数的是【 】
A. y?xarcsinx B. y?xarccosx
C. y?xarccotx D.
y?x2arctanx 13. 函数的复合过程为【 A 】
y?5lnsin3x A. B.35y?u,u?lnv,v?w,w?sinxy?5u3,u?lnsinx
C.
y?5lnu3,u?sinx D.
y?5u,u?lnv3,v?sinx二、填空题
1. 函数2.
xx的定义域是___________.
y?arcsin?arctan55
x的定义域为 ___________.
f(x)?x?2?arcsin33. 函数4. 设5. 设6.
x?1的定义域为 ___________。
f(x)?x?2?arcsin3
f(x)?3x,g(x)?xsinx,则g(f(x))=___________.
f(x)?x2,g(x)?xlnx,则f(g(x))=___________.
f(x)?2x,g(x)?xlnx,则f(g(x))=___________. f(x)?x?arcsinx7. 设f(x)?arctanx,则f(x)的值域为___________.
,则定义域为 . 28. 设
9. 函数y?ln(x?2)?arcsinx的定义域为 .
10. 函数
y?sin2(3x?1)是由_________________________复合而成。
第二章 极限与连续
一、选择题
1. 数列{x}有界是数列{x}收敛的【 】
nnA. 充分必要条件 C. 必要条件
B. 充分条件
D. 既非充分条件又非必要条件
2. 函数f(x)在点x处有定义是它在点x处有极限的【 】
00A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件
k3. 极限，则k?【 】
lim(1?x)x?e2x?0
A. 2 B. ?2 C. e?2 D. e2 4. 极限sin2x【 】
limx??x?A. 2 B. ? C. 不存在 D.
1【 】 5. 极限
0
lim(1?sinx)x?x?0A. 1 B. ? C. 不存在 D. e
6. 函数x2?1，下列说法正确的是【 】.
f(x)?x2?3x?2A. x?1为其第二类间断点 B. x?1为其可去间断点 C. x?2为其跳跃间断点 D. x?2为其振荡间断点 7. 函数
x的可去间断点的个数为【 】.
f(x)?sin?xA. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. x?1为函数
x2?1的【 】.
f(x)?2x?3x?2A. 跳跃间断点 B. 无穷间断点 C. 连续点 D. 可去间断点 9. 当x?0时，x2是x2?x的【 】
A. 低阶无穷小 B. 高阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 同阶但非等价的的无穷小 10. 下列函数中，定义域是[?1,1],且是单调递减的是【 】
A. y?arcsinx
B. y?arccosx
C. y?arctanx D. y?arccotx
11. 下列命题正确的是【 】
A. 有界数列一定收敛 B. 无界数列一定收敛
C. 若数列收敛，则极限唯一 D. 若函数f(x)在
x?x0处的左右极限都存在，则f(x)在此点处的极限存在 12. 当变量x?0时，与x2等价的无穷小量是【 】
A . sinC. D. e2x?1 x B. 1?cos2xln1?x2
??13. x?1是函数
x2?2的【 】.
f(x)?x?1A. 无穷间断点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 连续点 14. 下列命题正确的是【 】
A. 若C. 若
f(x0)?A，则limf(x)?A
x?x0x?x0 B. 若
x?x0limf(x)?A，则
f(x0)?A
limf(x)存在，则极限唯一 D. 以上说法都不正确
15. 当变量x?0时，与x2等价的无穷小量是【 】
A. tanx B.1?cos2x C. 16. x?0是函数
ln?1?x2? D. e2x?1
x2+1的【 】.
f(x)?1?cos2xA. 无穷间断点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 连续点 17.
f(x0+0)与f(x0?0)都存在是f(x)在x0连续的【 】
A. 必要条件 C. 充要条件
B. 充分条件
D. 无关条件
18. 当变量x?0时，与x2等价的无穷小量是【 】
A. arcsinx B . 1?cos2x C. D. e2x?1
ln1?x2??19. x?2是函数
x2?1的【 】.
f(x)?2x?3x?2A. 无穷间断点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 连续点 20.
A. 充分条件 C. 充要条件
{un}收敛是{un}有界的【 】
B. 必要条件
D. 无关条件
21. 下面命题正确的是【 】
A. 若
{un}有界，则{un}发散 B. 若{un}有界，则{un}收敛 C. 若
{u}单调，则{u}收敛 D. 若{u}收敛，则{u}有界
nnnn22. 下面命题错误的是【 】
A. 若
{un}收敛，则{un}有界 C. 若
{u}有界，则{u}收敛
nn B. 若{u}无界，则{u}发散
nn D. 若单调有界，则收敛
{un}{un}23. 极限
lim(1?3x)x?x?01【 】
A.? B. 0 C. e?3 D. e3 24. 极限
lim(1?3x)?x?01x【 】
A.? B. 0 C. e?3 D. e3 25. 极限
lim(1?2x)x?x?02【 】
A.e4 B. 1 C. e?2 D. e?4
26. x?1是函数
x?x3的【 】
f(x)?2x?x?2x?x3的【 】
f(x)?2x?x?2x2?4的【 】
f(x)?2x?x?2A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点 27. x??2是函数
A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点 28. x??2是函数
A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点 29. 下列命题不正确的是【 】
A. 收敛数列一定有界
B. 无界数列一定发散
D. 有界数列一定收敛
C. 收敛数列的极限必唯一 30. 极限x2?1的结果是【 】
limx?1x?1A. 2 B. ?2 C. 0 D.不存在 31. 当x→0时, 1是【 】
xsinxA. 无穷小量 B.无穷大量 C. 无界变量 D. 以上选项都不正确 32. x?0是函数sinx的【 】.
f(x)?xA. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D.无穷间断点 33. 设数列的通项(?1)n,则下列命题正确的是【 】
xn?1?nA. x发散 B. x无界 C. x收敛 D. x?n??n??n??n?单调增加
34. 极限
x2?xlimx?1x的值为【 】
A. 1 B. ?1 C. 0 D. 不存在
35. 当x?0时,x?sinx是x的【 】
A. 高阶无穷小 B. 同阶无穷小,但不是等价无穷小 C. 低阶无穷小 D. 等价无穷小 36. x?0是函数1的【 】.
f(x)?1?exA. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点 37. 观察下列数列的变化趋势，其中极限是1的数列是【 】
A. n n B.
n?1 C. 1 D. 1xn?3?xn?2?1nnxn?xn?2?(?1)
38. 极限
x的值为【 】 limx?0x
A. 1 B. ?1 C. 0 D. 不存在
39. 下列极限计算错误的是【 】
A. sinx B.
limx??x?1limsinxx?0x?1
C.
lim(11x D. 1 x???x)?elim(1xx?0?x)?e40. x?1是函数x?x2的【 】.
f(x)?x2?x?2A. 连续点 B. 可去间断点 C. 无穷间断点 41. 当x??时，arctanx的极限【 】
A.
?? B.
C.?? D.不存在
2??
? 2
42. 下列各式中极限不存在的是【 】
A.
3 B. limx?x?7x2?1x???x?1?2limx?12x2?x?1C.
sin3x D. 1 limx??xlimx?0?x2?x?cosx43. 无穷小量是【 】
A.比0稍大一点的一个数 B.一个很小很小的数 C.以0为极限的一个变量 D. 数0
44. 极限lim(11【 】x x?0?x)?A.? B. 1 C. e?1 D. e 45. x?1是函数
?x2?1的【 】. f(x)x?1A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点46. x?0是函数
?1的【 】
f(x)???xsinx?0?x?1?exx?0A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 47.
1的值为【 】
limx?0xsinxA. 1 B. ? C. 不存在 D. 0
48. 当x??时下列函数是无穷小量的是【 】 A. x?cosx B. sinx C. x2?sinx D.
xx(1?1x xx)D. 跳跃间断点 D. 连续点D. 无穷间断点
49. 设
?x2?1x?0f(x)???2x?1x?0，则下列结论正确的是【 】
A.f(x)在x?0处连续 B.f(x)在x?0处不连续，但有极限 C.f(x)在x?0处无极限 D.f(x)在x?0处连续，但无极限
二、填空题
1. 当x?0时，1?cosx是x2的_______________无穷小量.
2. x?0是函数
sinxf(x)?x的___________间断点.
3.
12x___________。
lim(1?)?x?0x4. 函数
1的间断点是x=___________。
f(x)?arctanx?15.
x2(ex?1)___________. lim?x?0x?sinx6. 已知分段函数
?sinx,x?0?f(x)??x??x?a,x?0连续，则a=___________.
7. 由重要极限可知，
8. 已知分段函数
lim?1+2x??x?01x___________.
连续，则a=___________.
?sinx,x?0?f(x)??2x??x?a,x?09. 由重要极限可知，1x___________.
lim(1?)?x???2x10. 知分段函数连续，则b=___________.
?sin?x?1?,x?1?f(x)??x?1?x?b,x?1?11. 由重要极限可知，
lim(1?2x)?x?01x___________.
12. 当x→1时，x3?3x?2与x2lnx相比，_______________是高阶无穷小量. 13.
1??lim?1??n??2n??2n?5=___________.
14. 函数
(x?1)2的无穷间断点是x=___________.
f(x)?2x?2x?315. 16.
tan2x=___________. limx?03x1??lim?1??n??2n??3n?5=___________.
17. 函数
(x?1)2的可去间断点是x=___________.
f(x)?2x?2x?31?cosx=___________. limx?0x22n?5=___________. 19.
3??lim?1??n??2n??18. 20. 函数
x2?1的可去间断点是x=___________.
f(x)?2x?3x?42n?221. 当x?0时，sinx与x3相比，_______________是高阶无穷小量. 22. 计算极限
1??lim?1??n??n??=___________.
23. 设函数
，在x?0处连续, 则a?__________
?2x?1,x?0f?x????x?a,x?0_______ . f(x)lim?x?1(x?1)(x?1)24. 若当x?1时, f(x)是x?1的等价无穷小, 则25. 计算极限
x?1?lim?1??x???x?=__________.
26. 设
?ex,f(x)???x?a,x?0,x?0. 要使f(x)在x?0处连续, 则a= .
27. . 当x→0时，x?sinx与x相比， 是高阶无穷小量. 28. 计算极限
1??lim?1??x??x?1??4x?5= .
29. 为使函数
?x2?2,f(x)???x?a,x?0x?0在定义域内连续，则a= .
30. 当x→0时，1?cosx与sinx相比，_________________是高阶无穷小量. 31. 当x→0时，4x2与sin3x相比，_______________是高阶无穷小量. 32. 当x→1时，
?x?1?2与
sin?x?1?相比，__________________是高阶无穷小量.
33. 若
k??lim?1???e3x??x??x，则k=___________.
34. 函数
x?1的无穷间断点是x=___________. f(x)?2x?3x?4x2?1?1limx?0x35. 极限=______________.
36. 设
2求limf?x?=___________. f?x??xsin,x??x37. 设函数
??cosx,x?0f(x)????a?x,x?0在x?0处连续，则a=___________.
38. x?0是函数
sinxf(x)?x的 （填无穷、可去或跳跃）间断点.
39. 函数
x?1的可去间断点是x=___________.
f(x)?2x?2x?3x40.
?2?lim?1???x???x?___________
三、计算题
1. 求极限
x3?2x?4 limx?2x2?4cos3x?cos2x limx?0ln(1?x2)2. 求极限
3. 求极限
(ex?1)limx?0xln(1?6x)2
4. 求极限
(ex?1)sinxlimx?0xln(1?6x)
5. 求极限
(1?cosx)sinx lim2x?0xln(1?6x)1?cosx limx?0x(e2x?1)1?cosx limx?0ln(1?x2)6. 求极限
7. 求极限
8. 求极限
1? ?2lim?2??x?1x?1x?1??
第三章 导数与微分
一、选择题
1. 设函数f (x)可导，则
f(x?3h)?f(x)【 】 lim?h?0h A. 3f?(x) B. 1 C. ?3f?(x)
f?(x)3f(1)?f(1?x)【 】 lim?x?02xD.
?1f?(x) 32. 设函数f (x)可导，则
A. 2f?(1) B. 123. 函数
f?(1)
C. ?2f?(1) D.
1?f?(1)2y?x在x?0处的导数【 】
C. 0
D. ?1
A. 不存在 B. 1
4. 设f(x)?e2x，则f???(0)?【 】
A. 8 B. 2 C. 0
D. 1
5. 设f(x)?xcosx，则f??(x)?【 】
A. cosx?sinx B. cosx?xsinx C. ?xcosx?2sinx D. xcosx?2sinx 6. 设函数f (x)可导，则f(x?2h)?f(x)【 】
limh?0h? A. 2f?(x) B. 12f?(x)
C. ?2f?(x) D.
1?f?(x)27. 设y?sinf(x)，其中f(x)是可导函数，则y?=【 】 A. cosf(x) B. sinf?(x) C. cosf?(x) D. cosf(x)?f?(x) 8. 设函数f (x)可导，则f(x?2h)?f(x)【 】
limh?0h2f?(x)
? A. 2f?(x) B. 1C. ?2f?(x) D.
1?f?(x)29. 设y?f(arctanx)，其中f(x)是可导函数，则y?=【 】
A. f?(arctanx) B. f?(arctanx)?(1?x2)
C. ?f(arctanx)?1?x2 D. f?(arctanx)
1?x210. 设y?f(sinx)，其中f(x)是可导函数，则y?=【 】
A. f?(sinx) B. f?(cosx) C. f?(sinx)cosx D. f?(cosx)cosx 11. 设函数f (x)可导，则
f(x?3h)?f(x)【 】 lim?h?02hC. f?(x) D. 3 A. 3f?(x) B. 2
f?(x)f?(x)32(10)
12. 设y=sinx，则y|x=0=【 】
A. 1 B. -1 C. 0 13. 设函数f (x)可导，则f(x?4h)?f(x)limh?02h?D. 2n
【 】
D. 1
A. 2f?(x) B. 4f?(x) C. 3f?(x)
214. 设y=sinx，则y(7)|x=0=【 】
A. 1 B. 0 C. -1 15. 设函数f (x)可导，则f(x?4h)?f(x)D. 2n
【 】
f?(x)limh?02h? A. -4f?(x) B. 2f?(x) 16. 设y=sinx，则
C. -2f?(x) D. 4f?(x)
y(7)=【 】
x??D. 2n A. 1 B. 0 C. -1
17. 已知函数f(x)在x?x的某邻域内有定义，则下列说法正确的是【 】
0 A. 若f(x)在x?x连续, 则f(x)在x?x可导
00B. 若f(x)在
x?x0处有极限, 则f(x)在x?x0连续 C. 若f(x)在 x?x0连续, 则f(x)在x?x0可微 D. 若f(x)在
x?x0可导, 则f(x)在x?x0连续
18. 下列关于微分的等式中，正确的是【 】 A. B. d(2xln2)?2xdx 1d()?arctanxdx21?x C. 1 D. d(tanx)?cotxdx 1d()??2dxxx19. 设，则f?(0)?【 】 f(x)?f(0)?sinx? lim?42x?0xA. 3 B. 4 C. 4 D. 不存在
3
20. 设函数f(x)在
x?x可导，则
0f(x0?2h)?f(x 】 lim0)【 h?0h? A. 2f?(x0) B. f?(x) C. 0?2f?(x D. 0)?f?(x0) 21. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】
A. d(arctanx)?1 B. 1 1?x2dxd(x)??1x2dx C. dcosx?sinxdx D. d(sinx)?cosxdx
22. 设函数
f?x??cosx，则
f(6)(0)?【 】
A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 23. 设
f(x)?ex，则
f(1??x)?f(1)【 】 ?limx?0?x? A. 1 B. e C. 2e D. e2
24. 设函数f(x)在x?x可导，则】 0limf(x0?2h)?f(x【 0)h?0h? A. 2f?(x) B. C. 0f?(x0) ?2f?(x D. 0) ?f?(x0) 25. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】
A. d(arctanx)?1 B. 1?x2dxd(1x)??1x2dx C. dcosx?sinxdx D. d(sinx)?cosxdx
26. 设函数f(x)在x?x处可导，且f?(x)?k，则
00f(x0?2h)?f(x lim0)【h?0h? A. 2k B. 1
C. ?2k D. 2k?1
2k27. 设函数f(x)在x可导，则
0limf(x0?4h)?f(x 】 0)【h?0h? A. 4f?(x) B.
C. 01f?(x?4f?(xD.
0)0) 4?14f?(x0)28. 设函数f(x)在x可导且f?(x)?2，则
00f(x0?h)?f(x0?2h)【 】limh?0h? A. -2 B. 1 C. 6 D. 3 29. 下列求导正确的是【 】 A.
?sinx2???2xcosx B. ?????? ?sin4???cos4C. ?ecosx???ecosx D. ?ln5x???1 x 】
30. 设f?x??xlnx，且???。
fx0?2，则f?x0?=（ ）
A. 2 B. e C. e D. 1
e31. 设y?sinx，则y(8)=【 】
2D. ?cosx
A. ?sinx B. cosx C. sinx
32. 设y?f(x)是可微函数，则df(cosx)?（ ）． A.? B.? 33. 已知y?xlnx,则?6?【 】
f(cosx)sinxdxf(cosx)dxC.?f(sinx)cosxdx D. ?f?(cosx)sinxdx
y?A.
1
?5xC. 4!
x5
B. 1
x5D.
4! ?5x二、填空题
1. 曲线
在点(2,3)处的切线方程是_____________. 12y?x?122. 函数
y?ln(1?ex)的微分dy=_____________.
3. 设函数f(x)有任意阶导数且
f'(x)?f2(x)，则f???(x)? 。
4. 曲线y?cosx在点?1处的切线方程是 。
(,)325. 函数
y?esin2x的微分dy= dx。
6. 曲线y?xlnx?x在点x?e处的切线方程是_____________. 7. 函数
y?x2?1的微分dy=_____________.
，则Q?900时的边际成本是___________. 12C?1100?Q12008. 某商品的成本函数
9. 设函数y?f(x)由参数方程所确定，则dy=_____________.
?x?cos???y?sin?dx10. 函数
y?(2x?5)9的微分dy=_____________.
11. 曲线f(x)?lnx在点(1,0)处的法线方程是___________.
12. 设函数y?f(x)由参数方程所确定，则dy=_____________.
?x?acost??y?bsintdx
13. 函数
y?lnsinx2的微分dy=_____________.
，则Q?500时的边际成本是12C?Q?20Q?160010014. 某商品的成本函数
___________.
15. 设函数y?f(x)由参数方程所确定，则dy=_____________.
?x?t?sint??y?1?costdx16. 函数
y?arctan1?x2的微分dy=_____________.
17. 曲线y?lnx?1在点
?e,2?处的切线与y轴的交点是_____________. 18. 函数
y?e2xcos3x?ln2的微分dy=_____________.
19. 曲线y?2lnx?1在点
?e,3?处的切线与y轴的交点是_____________. 20. 函数21. 曲线22. 函数
y?e2xsin3x?ln2的微分dy=_____________.
y?2lnx2?1在点?1,1?处的切线与y轴的交点是___________.
y?exsin3x?62的微分dy=___________.
23. 已知?f(x0)?1，则24. 已知函数25. 函数
f(x0?2h)?f(x0)＝_____________.
limh?03hy?e2x，则y????_____________.
y?ln(x2?1)的微分dy?_____________.
26. 已知函数y?sinx，则(6) .
y?27. 函数
y?xex2的微分dy= .
28. 已知曲线
y?2?2x?x2的某条切线平行于x轴，则该切线的切点坐标为 .
29. 函数y?ln(cos2x)的微分dy= . 30. 已知曲线31. 若yy?f?x?在x?2处的切线的倾斜角为56 ?，则
f??2?? .
?x(x?1)(x?2)，则y?(0)? ．
32. 函数y?arctan2x的微分dy=______________.
33. 已知函数y?f(x)是由参数方程确定，则dy?x?acost??y?bsintdx?______________.
34. 函数
y?ln1?x2的微分dy=_____________.
35. 函数y?lnsinx的微分dy= 36. 由参数方程
?x?t?sint??y?1?cost所确定的函数的导数dydx? ．
三、计算题
1. 设函数
y?xln(1?x2)，求dyx?1
ex?2y?xy所确定的隐函数y?y?x?的导数y?。
2. 求由方程
3. 求曲线?
4. 设函数
?x?t?1在t?0相应点处的切线与法线方程. 2y?t?t?，求
dy.y?x1?x25. 设y是由方程x?y?ey?2?0所确定的隐函数，求dydy,dxdx
6. 求椭圆
。
x?0?x?4cost??y?2sint在
t??相应点处的切线与法线方程.
4
7. 设函数
y?xarctanx，求dy.
。
x?0
8. 设y是由方程xy?ex?ey?0所确定的隐函数，求dydydxdx
9. 求摆线
,?x?t?sint??y?1?cost在
?相应点处的切线与法线方程. t?2，求y?(0)及d2y.
10. 设函数
y?ln(x?1?x2)dx2
11. 求由方程y?sin(x?y)所确定的隐函数y的导数dy
dx12. 设函数y?sinlnx?ex?sin2x，求d2y
.dx213. 求由方程ey?xy?e所确定的隐函数y的导数y?(0).
14. 设函数
y?lnx?1?x?2?，求d2y.
dx2
15. 求由方程
16. 设函数
17. 设函数
18. 设函数
x2?y2?1所确定的隐函数y在x?3处的导数y?(3).
，求微分dy.
y?arctan1?x2?cos2xy?ln(1?ex)?sin2x2，求微分dy.. ,求微分dy.
y?sinx3?1?lne?x
19. 求由方程
dyysinx?ex?y?1所确定的隐函数y的导数dy并求dxdx20. 求由方程dyysinx?ex?y?1所确定的隐函数y的导数dy并求dxdx
21. 求由方程
x?0.x?0.dyycosx?y?ex?y?1所确定的隐函数y的导数dy并求dxdxx?0.
22. 设函数
xx?0在x?0处可导，求b的值. ??2e?1,f(x)??2x?0??x?bx?1,
23. 已知方程sin(xy)?ln(x?1)?lny?1所确定的隐函数y?y(x)，求dydx
24. 已知函数
x?0.
y?arctan1?x2，求函数在x?0处的微分dy
25. 用对数求导法求函数
26. 求由方程
27. 设
28. 设
y?xcosx(x?0)的导数.
xy?e?x?ey?0所确定的隐函数y，求函数在x?0处的微分dy.
2y??f(sin2x)?,其中f是可微函数，求y?
y?e?2xcos3x,求dy.
29. 求由方程
xy?ex?y所确定的隐函数y的导数dydy,dxdx
.x?1y?130. 求由方程
ex?ey?sin?xy?所确定的隐函数y的导数dydydxdx，求f?(x)和f?(0)
,x?0.
31. 设函数32. 求曲线
f(x)?ln(x?1?x2)t??x?2e??t??y?e在t?0相应点处的切线方程与法线方程.
33. 已知y是由方程
线在点
34. 设函数
求y的导数dy以及该方程表示的曲
siny?xey?0所确定的隐函数，
,dx?0,0?处切线的斜率。
y?cos3x?sin3x，求dy.
四、综合应用题
1. 求
?x?lnt?2t?2?y?t?2在t?1相应点处的切线与法线方程.
2．求
?x?lnt?3t?2?y?t?1?x?lnt?3t?t?1?y?e?t在t?1相应点处的切线与法线方程.
3．求
在t?1相应点处的切线与法线方程.
第四章 微分中值定理与导数应用
一、选择题
1. 设函数f(x)?sinx在[0,?]上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的
??【 】
A. ? B. ? C. ? D. ?
2342. 下列函数中在闭区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】
A. lnx B. lnlnx C. 1 D. ln(2?x)
lnx
3. 设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，则方程f'(x)?0有【 】
A. 一个实根 C. 三个实根
B. 二个实根 D. 无实根
4. 下列命题正确的是【 】
A. 若?f(x)?0，则x是f(x)的极值点
00B. 若是f(x)的极值点，则?x0f(x0)?0
C. 若??f(x0)?0，则x0，f?x0?是f(x)的拐点
??D.
?0,3?是f(x)?x4?2x3?3的拐点
5. 若在区间I上，f?(x)?0,f??(x)?0,, 则曲线f (x) 在I上【 】
A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】 A. 若?f(x)?0，则x是f(x)的极值点
00B. 若是f(x)的极值点，则?x0f(x0)?0
C. 若??f(x0)?0，则x0，f?x0?是f(x)的拐点
??D.
?0,3?是f(x)?x4?2x3?3的拐点
7. 若在区间I上，f?(x)?0,f??(x)?0,, 则曲线f (x) 在I上【 】
A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】 A. 若?f(x)?0，则x是f(x)的极值点
00B. 若是f(x)的极值点，则?x0f(x0)?0
C. 若??f(x0)?0，则x0，f?x0?是f(x)的拐点
??D.
?0,3?是f(x)?x4?2x3?3的拐点
9. 若在区间I上，f?(x)?0,f??(x)?0,, 则曲线f (x) 在I上【 】
A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧
10. 函数y?x2?5x?6, 在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则?=【 】
A. 0 B. 1 C. 5 D. 2
2211. 函数y?x2?x?2在闭区间[?1,2]上满足罗尔定理，则?=【 】
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
2
12. 函数
y?x2?1,在闭区间[?2,2]上满足罗尔定理，则?=【 】
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
213. 方程x4?x?1?0至少有一个根的区间是【 】
A.
(0,1/2) B.(1/2,1) C. (2,3) D.(1,2)
14. 函数y?x(x?1).在闭区间
??1,0?上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的
?? 【 】
A. 0 B. 15. 已知函数
1 C. 1 D. 1 ?22在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定
f?x??x3?2x理成立的?是【 】 A.16. 设
1 B. 1 C. 1 D. 1
???3333y?x3?27，那么在区间(??,3)和(1,??)内分别为【 】
A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小
C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小
二、填空题
1. 曲线2. 曲线3. 曲线
f(x)?x3?3x2?5的拐点为_____________. f(x)?xe2x的凹区间为_____________。 f(x)?x3?5x2?3x?5的拐点为_____________.
4. 函数
y?2x2?lnx的单调增区间是___________. 5. 函数
y?ex?x?1的极小值点为_____________.
6. 函数
y?2x3?9x2?12x?3的单调减区间是___________. 7. 函数
y?2x2?lnx的极小值点为_____________.
8. 函数
y?ex?x的单调增区间是___________. 9. 函数
y?x?2x的极值点为_____________.
10. 曲线
y?x4?2x3?6在区间(??,0)的拐点为_____________. 11. 曲线
y?x3?3x2?1在区间(??,0)的拐点为_____________. 12. 曲线
y?x3?3x2?6的拐点为___________.
13. 函数y?2x3?6x2?12x?8的拐点坐标为 . 14. 函数
y?2x3?3x2在x?_______有极大值．
15. 曲线y?x?arctanx在x?0处的切线方程是___________. 16. 曲线
y?3x4?4x3?1在区间(0,??)的拐点为_____________.
17. 过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程是y= ．
三、计算题
1. 求极限
11 lim(?x)x?0xe?111lim(?) x?0xsinx
求极限2.
3. 求极限
ex?x?1limx?0ln(1?x2)
4. 求极限
x1 lim(?)x?1x?1lnx
5. 求极限
11lim(2?)x?0xxsinx
6. 求极限
11 lim(?x)x?0xe?1
7. 求极限
limx?0x?sinxx(ex?1)2
四、综合应用题
1. 设函数f(x)?2x3?3x2?4.求
(1) 函数的单调区间；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
2. 设函数f(x)?x3?3x2?3.求
(1) 函数的单调区间；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
3. 设函数
4. 设函数
f(x)?x3?3x2?9x?1.求f(x)在[0,4]上的最值
f(x)?4x3-12x2?3.求
(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
5. 某企业每天生产x件产品的总成本函数为
C(x)?2000?450x?0.02x2，已知此产品
的单价为500元，求： (1) 当x?50时的成本；
(2) 当x?50到x?60时利润变化多少?
(3) 当x?50时的边际利润，并解释其经济意义。
6. 设生产某种产品x个单位的总成本函数为
C(x)?900?2x?x2，问：x为多少时能使
平均成本最低，最低的平均成本是多少？并求此时的边际成本，解释其经济意义。
7. 某商品的需求函数为q?300?3p(q为需求量, P为价格)。问该产品售出多少时得到
的收入最大？最大收入是多少元？并求q?30时的边际收入，解释其经济意义。
8. 某工厂要建造一个容积为300m2的带盖圆桶，问半径r和高h如何确定，使用的材料
最省？
9. 某商品的需求函数为
1(Q为需求量, P为价格).
Q?10?P2 (1) 求P?2时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(2) 当P?3时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
10. 求函数
f(x)?excosx在???,??上的最大值及最小值。
11. 某商品的需求函数为
12(Q为需求量, P为价格).
Q?80P?P100 (1) 求P?5000时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(2) 当P?5000时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
12. 某商品的需求函数为
Q?65?8P?P2(Q为需求量, P为价格).
(1) 求P?5时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求P?5时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当P?5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化?
2(Q为需求量, P为价格). 14. 某商品的需求函数为
Q?40?2P?P(1) 求P?5时的边际需求, 并说明其经济意义.
(2) 求P?5时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当P?5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化?
2 (Q为需求量, P为价格). 15. 某商品的需求函数为
Q?35?4P?P(1) 求P?5时的边际需求, 并说明其经济意义.
(2) 求P?5时的需求弹性, 并说明其经济意义. (3) 当P?5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化?
16. 设函数f(x)?4x3-12x2?3.求
(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
17. 设某企业每季度生产的产品的固定成本为1000(元),生产x单位产品的可变成本为
0.01x2?10x(元).如果每单位产品的售价为30(元).试求: (1)边际成本,收益函数,边际收益函数;
(2)当产品的产量为何值时利润最大,最大的利润是多少?
18. 设函数f(x)?x3?3x2?9x?1.求
(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
19. 求函数f(x)?sinx?cosx在[0,?]上的极值. 20试求
f?x??x3?3x的单调区间，极值，凹凸区间和拐点坐标．
五、证明题
1. 证明：当0?x???时，arctanx?x。
2. 应用拉格朗日中值定理证明不等式：
当0?a?b时，b?abb
b?a。
?ln?aa
3. 设f(x)在[0,1]上可导，且f(1)?0。证明：存在??(0,1)，使f?(?)??f(?)?0成
立。
4. 设f(x)在闭区间[0, ?]上连续，在开区间(0, ?)内可导， （1）在开区间(0, ?)内，求函数g(x)?sinx?f(x)的导数. （2）试证：存在??(0,?)，使 f(?)cot??f?(?)?0.
.
5. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0,
-kx（1）在开区间(a,b)内，求函数的导数.
g(x)?e?f(x)（2）试证：对任意实数k，存在??(a,b)，使 f?(?)?kf(?).
6. 求函数f(x)?arctanx的导函数，
（2）证明不等式：arctanx?arctanx?x?x，其中x?x.（提示：可以用中值定理）
212121
7. 证明方程x5?3x2?10x?1?0有且只有一个大于1的根.
8. 证明方程x5?4x2?8x?1有且只有一个大于1的根.
9. 证明方程x5?3x2?7x?1有且只有一个大于1的根.
10. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导，f(a)?f(b)?0,且存在点c?(a,b)使
f(c)?0.证明：至少存在一点??(a,b)，使f??(?)?0.
11. 设f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f(0)?0, f(1)?1.
证明: (1) 存在??(0,1), 使得f(?)?1??; (2) 存在两个不同的?,??(0,1), 使f?(?)f?(?)?1.
12. 设f(x)在[1,2]上有二阶导数，且f(1)?f(2)?0.又
F(x)?(x?1)2f(x).证明：至少存在一点??(1,2)，使F??(?)?0
13. 证明方程x4?x?1?0在(0,1)上有且只有一个根.
14. 证明：当0?x???时，arctanx?x.
15. 设f(x)在(??,??)内满足关系式f'(x)?f(x)，且f(0)?1，则（提示：
f(x)?ex。
设辅助函数f?x?）
F?x??ex
第五章 不定积分
一、填空题
1. 若F(x)是f(x)的一个原函数, 则【 】 A. B.
?f(x)dx?F(x)?Cf(x)dx?F(x)?C??C. 2. 若
?df(x)?F(x)?C D.
?dF(x)?f(x)?C
?f(x)dx?e2x?x?C, 则f(x)?【 】
2x2x2xA.
2xe2x(1?x) B. 2e C. e D. 2e?1
3. 下列哪个函数不是sin2x的原函数【 】
A. sin2x B. -cos2x C. -124. 若
cos2x D. cos2x
, 则f(x)=【 】 f(x)2?x2dx?x?CA. 2x3 B. 1 C. x3 D. 3x3
2x25. 若f(x), 则f(x) =【 】
2?sinxdx?x?CA. 2 B. 2xcosx C. 2xsinx D. 2
xsinxxcosx336. 若f(x), 则f (x)=【 】
2?cosxdx?x?C
xsinx3【 】 7. 若f(x)?sinx2,则
?f(x)dx??A. 2x?cosx2 C. cosx2?C 8. 设函数
A. 2 B. 2xcosx C. 2xsinx D. 23xcosx
B. sinx2 D. sinx2?C
f(x)?3x3?x2，则?f?(x)dx?【 】
A. 9x2?2x B. 9x2?2x?C
C. 3x3?x2?C D. 3x3?x2 9.
?A.10.
x?4x?212x【 】
dx? B.
?2x?C【 】
12x C.
?C D.
2222x?Cx?2x?C3333?sin2xdx?A.1cos2x?C2C.cos2x?C D.1
?cos2x?C2
B.?sin2x?C
二、填空题
_________________________. 1. 设sinx是f(x)的一个原函数，则
[f(x)+x]dx??2. 若3.
?f(x)dx?F(x)?C，则
xx?ef(e)dx? _________________________。
_________________________. 1[?dx]'?sin2x4. 设F?(x)?f(x)，则
?f(x2)?2xdx=__________________.
__________________.
5. 已知F?(x)?f(x)，则6. 设F?(x)?f(x)，则
?f(cosx)sinxdx??__________________. f(lnx)dx?x7. 设f(x)的一个原函数为lnx2,则
??f?(x)dx?_________________________. _________________________.
8. 设f(x)的一个原函数为cosx2,则
?f?(x)dx?_________________________. 9. 设f(x)的一个原函数为xex,则
??（f(x)dx）
10. 设
1,则f(x)? .
[lnf(x)]??1?x211. 已知f(x)?ex2,则
?f?(x)dx?__________________.
12. 已知f(x)的一个原函数为tanx,则13. 14.
x?(e?x)dx?f(x)f?(x)dx? .
＝_______________________.
．
(1?x)2?xdx?
三、计算题：
1. 求2. 求3. 求4. 求5. 求6. 求7. 求
?arcsinxdx?x?exdx
cosx?2sinx?3dx?xsinxdx?xx?edx?
11?x2?(sinx+1)dx2x?x?edx
8. 求x?arctanx?1?x2dx9. 求10. 求11. 求12. 求13. 求14. 求15. 求16. 求
?x?cosxdx
1?x1?xdx?arccosxdx3x?xedx
1?x1?xdx
? xdx1?x
2x??sinxdx 1?(x?1)(x?3)dx
17. 求18. 求19. 求20. 求21. 求22. 求23. 求24. 求25. 求26. 求
?2xxe?dx
1?1?3xdx?2x?cosxdx 1?1?exdx2x?lnxdx
?tanxdx
?arccosxdx.2x?lnxdx
cosx?2sinx?3dxxe?dx.