loading（3）APL?MPL?L?10，把L?10 代入AP和MP函数得： APL?20?0.5L?50即 L=10时，=20?5?5=10 ，MPL?20?L=20?10=10 ，
LAPL达到极大值，APL?MPL。
2．已知生产函数为Q＝min(2L,3K)。求： （1）当Q＝36时，L与K值分别是多少？
（2）如果生产要素的价格分别为PL=2，PK=5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？
解：（1）生产函数为Q＝min(2L,3K)表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q＝2L＝3K。
因为已知产量Q＝36,则 2L＝3K=36 ，所以，L＝18，K＝12。 （2）由Q＝2L＝3K=480，可得：L＝240，K＝160。
又因为PL＝2，PK＝5，所以有：TC＝PLL＋PKK＝2×240＋5×160＝1280。即生产480单位产量最小成本为1280。
3.假设某厂商的短期生产函数为 Q＝35L＋8L－L。求： (1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。
(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？
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解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝L＝35＋8L－L2
边际产量函数：MP(L)＝Q′(L)＝35＋16L－3L2
(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。
在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，于是，有35＋8L－L2
＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。
在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2
＝0。(5+3L)(7-L)=0，解得L＝－5/3和L＝7。L＝－5/3不合理，舍去，故取L＝7。
由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。
4.已知生产函数为Q?ALK。
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1323判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？
（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？
解：（1） Q?f?L,K??ALK f??L,?K??A??L?131323??K?23在长期生产中，该生??ALK??f?L,K? ,所以，
1323产函数属于规模报酬不变。
（2）假定资本的投入量不变，用K表示，L投入量可变，
1?322所以，生产函数Q?ALK，这时，劳动的边际产量为MPL?ALK3
3232dMPL2?5??AL3K3?0，说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增加，dL913劳动的边际产量递减。
141??dMPK212333??ALK3?0，说明：当劳动使用量即定同理，MPK?ALK，
3dK9时，随着使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。
综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用。
5．令生产函数f（L，K）=a0＋a1(LK)1/2＋a2K＋a3L，其中0≤ai≤1 i=0，1，2，3。 （1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。 解：（1）根据规模报酬不变的定义f(λL，λK)=λf（L，K）于是有 f(λL，λK)＝a0＋a1(λL)(λK)1/2＋a2(λK)＋a3(λL)
＝a0＋λa1（LK)1/2＋λa2K＋λa3L
＝λ[a0＋a1(LK)1/2＋a2K＋a3L]＋（1－λ）a0 ＝λf（L，K）＋（1－λ）a0
由上式可见：当a0＝0时，对于任何的λ＞0，有f(λL，λK)=λf（L，K）成立， 即当a0＝0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 （2）在规模报酬不变，即a0＝0时，生产函数可以写成
f（L，K）＝a1（LK)1/2＋a2 K＋a3L
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相应地，劳动与资本的边际产量分别为：
MPL(L，K)＝
df(L,K)1＝a1L-1/2K1/2＋a3， dL2df(L,K)1＝a1L1/2K-1/2＋a2， dK2MPK(L，K)＝
可求：
dMPL(L,K)dMPK(L,K)11＝- a1L-3/2K1/2 <0 ， ＝- a1L1/2K1-3/2<0
dLdL44 显然，劳动和资本的边际产量是递减的。
6. 假定某厂商的短期生产函数为Q=f(L,K),给定生产要素价格PL 、PK 和产品价格P,且利润π>0。 证明:该厂商在短期生产的第一阶段不存在利润最大化点。 证明
Q D C TPL 第Ⅰ阶段 第Ⅱ阶段 第Ⅲ阶段 B B′ APL MPL C′ O L1 L2 L3 L L2为区域Ⅰ的右界点，设厂商的生产函数为Q=f(K，L)，其中L为可变投入，K为不变投入。由题意，单位产品的价格P和单位生产要素的价格PL及PK都不随产量Q的变化而变化。则利润 π=PQ-(LPL+KPK) (1)
d?dQ?P??PL (2) dLdL因为，π＞0，可得PQ＞LPL+KPK (3) 由(3)式两边同时除以LP，得：
PKPQ?APL?L??K(LpL1) LPLP7
又因为在第一区域MPL＞APL，所以得： MPL?PKPPdQQ＞?APL?L??K>L(LpL1) dLLPLPPdQPLdQdQ 即:>(LpL1)? P>PL? P->PL>0 dLPdLdLd? 即>0 (L＜L1) dL 这表明利润π将随着可变投入L的增加而增加，且在区域Ⅰ中这一趋势将一直保持到其右界点(即L=L1时), 所以在区域Ⅰ中不存在使利润最大的点。
7. 已知某厂商的固定投入比例的生产函数为Q=min2?L,3K? 。
(1)令PL =1,PK =3。求厂商为了生产120单位产量所使用的K、L 值以及最小成 本。如果要素价格变化为PL =4,PK =2,厂商为了生产120单位产量所使用的 K、L 值以及最小成本又是多少? 请予以比较与说明。
(2)令PL =4,PK =3。求C=180时的K、L 值以及最大产量。
解答：(1)L=3K=120， 解得：L=120， K=40，当 PL =1,PK =3时，最小成本C=120+3X40=240
当PL =4,PK =2时，生产120单位产量所使用的 K、L 值也要满足：L=3K=120， 解得：L=120， K=40。最小成本C=120 X4+40 X2=560。
虽然生产要素价格变了，但是固定投入比例的生产函数反映生产要素之间比例是固定的、不存在替代关系，生产要素之间比例是由生产技术决定的，是技术问题非经济问题，不受生产要素价格的影响。生产一定产量生产要素数量不变。但是生产要素价格变化，故成本变化了。
(2) 由已知可得方程组：
4L?3K?180 解得L=36 ，K=12
L?3K最大产量Q=L=3K=36
8. 已知某厂商使用L 和K 两种要素生产一种产品, 其固定替代比例的生产函数为Q=4L+3K。 (1)作出等产量曲线。 (2)边际技术替代率是多少? (3)讨论其规模报酬情况。
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