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第一章
§1.1集合 §1.2映射与变换
教学内容：集合，子集，集合相等的概念 集合关系及运算的定义和性质
映射，单射，满射，双射，逆映射的定义及例子 变换，置换等的定义及例子
映射的象及逆象的定义，映射的乘法
教学重点：集合的关系及运算，映射变换的定义，映射的乘法
在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论不再重复，这里，只复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一个统一的规定。
1、用Z表示整集合，Z*表示非零整数集，用ψ表示有理数集，ψ*表示非零有理数数集等。 Z+ ，ψ+…R,C…
2、A?B表示A是B的子集，A=B或A?B
A?B表示A是B的真子集，即B中有不存在A的元素 A?B表示A不是B的子集 A?B表示A不是B的真子集 A=B?A?B且B?A
3、如果集合A含有无穷多个元素，则记为A=?,如果A含有n个元素，则记为A=n。（A的阶），有A?B+B?A=A+B
4、称集合A-B={aa?A, a?B}为集合A与B的差集。易知有A-B=A?B
5、集合A有很多子集，将A的所有子集放在一起（包括空集?）也组成一个集合，称为A的幂集，记作P(A)。p(A)=2（A=n）
映射是函数的推广，函数的定义中要求有两个数集，而映射中，是一般的集合
6、定义：设A,B是两个集合，如果有一个法则?，他对于A中每个元素，在B中都有一个唯一确定的元素y与它对应，则称?为从A到B的映射。这种关系常表示为
n?：A?B 或?：x?y 或y=?（x）
x?y
且称y为x在?之下的像，称x为y在?之下的原像或逆像。
由定义可知，映射必须满足三个条件：
① A中每个元素都有像，② A中元素的像是唯一的，③ A中元素的像在B里。 例：P6例1-6
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例1.不是映射，不满足① 例2.不是映射，不满足② 例3.不是映射，不满足③ 例4.是映射，不单不满 例4.是映射，不单，满 例6.是映射，单不满 7、映射是函数概念的推广，?是对应法则，A是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可将映射区分为是否是满射。A中不同元素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。
定义：设?为A到B的一个映射，如果B中每个元素在A中都有逆像，则称?为A到B的一个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也不同，则称?是从A到B的一个单射。如果?既是满射又是单射，则称?是从A到B的一个双射，或一一映射。
例：P7，例 4-8
例7，双射， 例8，满射，不单。
8、设有映射?：A?B， ?A，B1?B.用?（A1）表示A1中所有元素在?之下的像的全体组成的集合，称为
A1在?之下的像，?（A1）?B。用?（B1）表示B1中所有
?1?1元素在?之下的逆像全体组成的集合，称为B1在?之下的逆像，?（B1）?A。
易知：?是满射??（A）=B.
9、设?：A?B是双射，（思考，为什么？），则?：B?A 也是一个映射,且为双射（为什么？），
x?y=?(x) y?x 称?为?的逆映射。 注意：双射才有逆映射。
定理：设A,B是两个有限集合，且A=B，?是A到B的一个映射，则 ?是单射??是满射??是双射
证明：略。
10、设б与?都是A到B的映射，如果?x?A,都有б（x）=?(x),则称б与?相等，记作б=?
???????C 11、设?：A?B б：??C 则A???1?1 x??(x) y??(y)， x??(x)??（?(x)）
是一个A到C的映射，记为??，即??：A?C 并称??为?与?的
合成或乘积。
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x? ?（?(x)）
12、集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变换）等。
将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒等变换，?：A?B 它是一个
一一变换。
x?x， 例：P9例9-10
定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。
有限集合M={1,2，
n}的双射变换?称为一个n之置换，且常表示为
?1,2,n ?=??(1),?(2)?例如n=3时, M={1,2，
? ?(n)???123??123??123??123??123??123?n}有3！=6个3之置换，?? ,??,??,??,??,??.
213231312123132321???????????? 要注意每个n之置换都有n!种写法，但习惯上第一行顺序排列，如
?123??132??213??231??312??321???=??=??=??=??=??。 ?213??213??321??312??123??132?§1.3 集合 §1.4 运算律
教学内容：运算的定义，变换的乘法，运算律的定义及其意义 教学重点：运算及运算律的定义
1、运算就是通常的运算，加，减，乘，除等的推广，简单说就是由两个东西算出来一个新的来。下面是“教学”的定义。
定义：设M是一个集合，如果有一个法则，它对M中任意两个有次序的元素a和b，在M中都有唯一一个确定的元素d与他们对应，则称这个法则是M的一个运算。
如果用“。”表示定义中所说的法则，即运算，由a与b通过“。”得到的d记为a。b=d,运算也可以用其他符号表示。
注意d必须属于M
有代数运算的集合，称为代数系统 例：P12 例1-5
2、设M是一个集合，用T（M）表示M的全体变换作成的集合，?б??T（M）,乘积б?，即?x?M，б?（x）=б（?（x））也是M的一个变换，即б??T（M），称之为变换的乘法，是T（M）的一个代数运算。
用?表示M上的恒等变换，则?б?T（M），有?x?M，б?（x）=?б（x）=б（x） 所以б?=?б=б
用S（M）表示M的全体双射变换组成的集合，即S（M）?T(M)可以证明两个双射变换的乘积仍是双射变换，即变换的乘积也是S（M）的一个代数运算，（证明见教材）
例：P14例
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3、对有限集合的代数运算，常列成一个表，如A={a1，a2，an}上有代数运算。且
a。a=aijij，则有
a 1a2 an a1 a2 a11 a21 a12 a22 aa 1n2nan an1 an2 ann 这种表称为乘法表 例 ? e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 4、设集合M有运算，若?a,b,c?M有 （ab）c=a(bc) 则称运算满足结合律。
数，多项式，矩阵，函数等对通常的加法和乘法都满足结合律。 例：P16 例1-3
例1、不满足的例子， 例2变换的乘法满足结合律
n个元素a1，a2，
an相乘时，可以有很多种加括号的方式，若运算满足结合
律，可以证明无论怎样叫括号结果都相等，通常这一相等的结果写成a1a2an，但
不能交换次序
5、如果集合M的代数式运算。满足?a,b?M有
ab=ba 则称运算满足交换律。
当集合M的运算满足结合律和交换律时，M中任意n个元素相乘时可以任意结合，任意交换次序，结果不变。
6、设集合M有两个代数运算和?，如果?a,b,c?M，有 a(b?c)=(ab)?(ac) 则称对?满足左分配律。如果
(b?c) a=(ba) ?(ca) 则称对?满足右分配律。
当满足交换律时，上面两个分配律可为一个。
设集合M有两个代数运算和?，?满足结合律，而对?满足左分配律