loading高二数学学案 编号：007 编者：宋冬梅 2015-3-10
课题: 微积分基本定理与应用
【学习目标】
1． 直观了解微积分基本定理的含义。 2． 会求简单的定积分。
3． 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。 【典型例题】
[例1]（1）由抛物线y2?x和直线x=1所围成的图形的面积等于
A．1
B．
4 3C．
2 3D．
1 3（2）如图，阴影部分的面积是
A．23 B．9?23 C．
3235D．
3 3（3）|x?4|dx=
0?12 A．
22252123 B． C． D．
3333例1（2）
（4）
???2xcos2dx= ．
2m1m2r2（5）按万有引力定律，两质点间的吸引力F?k，k为常数，m1,m2为两质点的质量，r为两点间距
离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（ｂ＞a） ．
y 22[例2] 如图，求由两条曲线y??x，4y??x及直线y= -1所围成图形的面积． o 1 2 x - 2 -1
A B 2 -1 C D y??x 4y??x2
例2图
[例3]如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为
1
93a，求直线l的方程． 2A
例3图
[例4]已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点．直线l1过点A，且与抛物线C相切．直线l2：x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．
（1）求直线l1的方程；
（2）设?ABD的面积为S1，求BD及S1的值；
（3）设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数． 【课内练习】 1． 2．
?50(2x?4)dx=
B。4
C。3
D。2
A．5
21?1xlnxdx=
1 A．ln22 B。ln2 C。ln22
2a13． 若?(2x?)dx?3?ln2，且a＞1，则a的值为
1xD。ln2
A．6 B。4 C。3 D。2
4． 已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为
gt02gt02gt022
A． B．gt0 C． D．
3265． 曲线y?x2与直线y?x?2所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ． 6． 7．
??x0aF'?t?dt? 。
(xcosx?5sinx?2)dx= 。
?a8． 计算下列定积分的值
（1）?(4x?x)dx；（2）?2(x?sinx)dx；（3）?2?cos2xdx。
0?13?2??29． 平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，沟中水深1m．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以 高，沟中的水有多少立方米？
10．设y?f(x)是二次函数，方程f(x)?0有两个相等的实根，且
f?(x)?2x?2．
（1）求f(x)的表达式．
（2）若直线x??t(0?t?1)把y?f(x)的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．
2
高二数学学案 编号：007 编者：宋冬梅 2015-3-10
课题: 微积分基本定理与应用
【学习目标】
1．会求简单的定积分。
2．会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。 【当堂检测】
A组
1． 下列有定义的定积分为
A．?1dx ?1x1B。?1dx
?2cosx2C。?40dx 2(x?2)D。?lnxdx
022．
?(e01x?e?x)dx=
D．e?21 B．2e C．
ee33． 曲线y?cosx,x?[0,?]与坐标轴围成的面积
25 A．4 B．2 C．
2A．e?4． 若?(3x2?4x?5)dx=a3-2（a＞1），则a= 。
0a1 eD．3
5．
?94x(1?x)dx= 。
221326． 求定积分：?x(9?x)dx。
07． 求曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积．
8． 如图，抛物线y?4?x2与直线y＝3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。 （1）求使?PAB的面积为最大时P点的坐标(a,b)；
（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分.
BP?4?2y4A2024?2?4?6?8?10?12x 微积分基本定理与应用
B组
?1．
?30(2cos2x?1)dx= 23
2．
A．?3 22B。?
12C。
1 2D。3 2?|3x03?12|dx=
B。22
x A．21
3． 下列命题：
C。23 D。24
①若f(x)是定义在R上的奇函数，则?f(t)dt为R上的偶函数；
0②若f(x)是周期为T（＞0）的周期函数，则?f(x)dx??0aa?TTf(x)dx；
③(?f?(t)dt)??f?(x)。
0x其中正确命题的个数为 A．0 B。1
C。2
D。3
（ ）
4． 由曲线y?2?x2与直线y??x所围成的平面图形的面积为 。
5． 已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ． 6． 求由曲线y?x2?2x与x轴所围的封闭区域的面积。
7． 设某物体一天的温度T是时间t的函数，T (t) = at3+bt2+ct+d (a≠0)，其中温度的单位是C，时间的单
?位是小时，t=0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后．若测得该物体在8∶00的温度为8C，12∶00的温度为60C，13∶00的温度为58C，且已知该物体的温度在8∶00和16∶00有相同的变化率． （1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在10∶00到14∶00这段时间中（包括10∶00和14∶00），何时温度最高？并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数f(x)在[x1,x2](x1?x2)上函数值的平均为
???1x2?x1?x2x1f(x)dx，求该物体在
8∶00到16∶00这段时间内的平均温度．
8． 一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．
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