loading第四章 刚体的转动练习
要点：
运动学公式：. (1).位置矢量(运动方程)
r = r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k，
速度v = dr/dt = (dx/dt)i+(dy/dt)j + (dz/dt)k， 加速度 a=dv/dt=(dvx/dt)i+(dvy/dt)j +(dvz/dt)k 切向加速度 at= dv/dt，
2
法向加速度 an= v/? .
圆周运动及刚体定轴转动的角量描述
?=?(t)， ?=d?/dt， ?= d?/dt =d2?/dt2，
角量与线量的关系 △l=r△?， v=r? (v= ?×r)，
at=r?, an=r?2。
力矩 M?r?F ,M??ri?Fi , M??r?dF 转动惯量 J=?riDmi， J=2òmrdm
2转动定律 M?dLdt M=Jb；
角动量: 质点L?r?p 刚体L=J?；动量 P=mv
角动量原理
?Mdt=L?L0
0t角动量守恒 M=0时, L=恒量 力矩的功 A????21Md?，
功率 P?dAdt?M?；
2转动动能 Ek=Jw2，
刚体定轴转动的动能定理 A=òMdq=Jw22-Jw022
练习1 力矩 转动惯量 转动定律
一.选择题
1.关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 c
(A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关. (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关. (C) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置.
(D) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关. 2.一圆盘饶过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度?按图示方向转动,若如图6.1所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面同时作用到圆盘上,则圆盘的角速度? a
(A) 必然增大, (B) 必然减少,
(C) 不会改变, (D) 如何变化,不能确定.
3.有两个半径相同,质量相等的细圆环A和B,A环的质量分布则
1
F · O 图6.1
? F 均匀, B环的质量分布不均匀,它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为JA和JB,
(A) JA?JB. (B) JA?JB.
(C) JA=JB. (D) 不能确定JA、JB哪个大.
4.将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，如果在绳端挂一质量为m的重物时，飞轮的角加速度为?1. 如果以拉力2mg代替重物拉绳时, 飞轮的角加速度将 c
(A) 小于? 1. (B) 大于?1,小于2?1. (C) 大于2?1. (D) 等于2?1. 5.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上.
(1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零; (2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零; T (3)这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零; (4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零. F 在上述说法中,
(A) 只有(1)是正确的. (B) (1)、(2) 正确, (3)、(4)错误, (C) (1)、(2)、(3)都正确, (4)错误. (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确.
二.填空题
1.半径为r = 1.5m的飞轮作匀变速转动,初角速度? 0=10rad/s,角加速度?=－5rad/s2, 则在t= 时角位移为零,而此时边缘上点的线速度v= . 2.半径为20cm的主动轮,通过皮带拖动半径为50cm的被动轮转动,皮带与轮之间无相对滑动, 主动轮从静止开始作匀角加速转动. 在4s内被动轮的角速度达到8?rad/s,则主动轮在这段时间内转过了 圈.
3. 如图6.2所示一长为L的轻质细杆,两端分别固定质量为m和2m的小球,此系统在竖直平面内可绕过中点O且与杆垂直的水平光滑轴(O轴)转动, 开始时杆与水平成60°角,处于静止状态.无初转速地释放后,杆球这一刚体系统绕O轴转动,系统绕O轴的转动惯量J= .释放后,当杆转到水平位置时,刚体受到的合外力矩M= ; 角加速度?= .
○2 m
60°╮ O · ○ m
图6.2 三.计算题
1.为求一半径R=50cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定轴的转动惯量,让飞轮轴水平放置，在飞轮边缘上绕以细绳,绳末端悬重物，重物下落带动飞轮转动.当悬挂一质量m1=8kg的重锤，且重锤从高2m处由静止落下时,测得下落时间t1=16s. 再用另一质量m2为4kg的重锤做同样的测量, 测得下落时间t2=25s,假定摩擦力矩是一个常数,求飞轮的转动惯量.
2. 如图6.3所示.一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上,摩擦系数为?，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动.开始时圆盘静止,一质量为m的子弹以水平速度v0垂直圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:
(1) 子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;
(2) 经过多长时间后,圆盘停止转动. (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为MR2/2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
图6.3 ·O R m v 0 练习2 转动定律(续) 角动量
一.选择题
2
1.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图7.1所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ a
(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小.
(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大. (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小. (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大. 2.刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 b
(A) 刚体不受外力矩的作用. (B) 刚体所受合外力矩为零. (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变.
3.如图7.2所示,一水平刚性轻杆,质量不计，杆长l=20cm，其上穿有两个小球.初始时,两小球相对杆中心O对称放置,与O的距离d=5cm，二者之间用细线拉紧.现在让细杆绕通过中心O的竖直固定轴作匀角速的转动,转速为? 0，在烧断细线让两球向杆的两端滑动.不考虑转轴的摩擦和空气的阻力,当两球都滑至杆端时,杆的角速度为
(A) ? 0. (B) 2? 0. (C) ? 0/2 . (D) ? 0/4.
4.有一半径为R的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J, 开始时转台以匀角速度? 0转动,此时有一质量为m的人站住转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时, 转台的角速度为
(A) J? 0/(J+mR) . (B) J? 0/[(J+m)R]. (C) J? 0/(mR2) . (D) ? 0.
5.如图7.3所示,一静止的均匀细棒,长为L、质量为M, 可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动, 转动惯量为ML2/3.一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为v/2,则此时棒的角速度应为
v/2
俯视图 (A) mv/(ML) . (B) 3mv/(2ML).
O (C) 5mv/(3ML). (D) 7mv/(4ML). · 二.填空题 v 1.在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度vA=4m /s垂直于OA向右滑动，如图7.4所示，设在以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直，则此时刻物体对O点的角动量的大小LB= ，物体速度的大小vB= .
2. 将一质量为m的小球, 系于轻绳的一端, 绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住, 先使小球以角速度? 1 在桌面上做半径为r1的园周运动, 然后缓慢将绳下拉, 使半径缩小为r2, 在此过程中小球的动能增量是 .
3.一飞轮以角速度? 0绕轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J1；另
2
2
O A 图7.1
●O d d l ●图7.2
O ? d A 图7.3 vB B 图面为水平面 vA 图7.4 R · M ? 0 m 图7.5
O (俯视图) m1 l m2 v1 A □ v2 图7.6
3
一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍，啮合后整个系统的角速度? = . 三.计算题
1.一轴承光滑的定滑轮,质量为M=2.00kg,半径为R=0.100m,一根不能伸长的轻绳,一端缠绕在定滑轮上,另一端系有一质量为m=5.00kg的物体,如图7.5所示.已知定滑轮的转动惯量为J=MR/2.其初角速度? 0=10.0rad/s,方向垂直纸面向里.求:
(1) 定滑轮的角加速度;
(2) 定滑轮的角速度变化到? =0时,物体上升的高度; (3)当物体回到原来位置时,定滑轮的角速度.
2. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图7.6所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (以知棒绕O点的转动惯量J=m1l2/3).
2
答案
练习1 力矩 转动惯量 转动定律
一.选择题C A C C B 二.填空题
2
1. 4s, -15m/s. 2. 20 3ML/4, mgL/2, 2g/(3L) . 三.计算题
1.飞轮受绳的张力T产生的力矩和阻力矩M? , 重锤受绳的张力T和重力mg.对飞轮和重锤分别用转动定律和牛顿定律列方程, 有 TR-M? =J?=Ja/R
2
mg?T=ma， h=at/2
得 mgR-M?=( J/R+mR)2h/t2
当重锤质量分别为m1和m2时, 重锤下落时间分别为t1和t2 ,于是有
m1gR-M?=( J/R+m1R)2h/t12
2
m2gR-M?=( J/R+m2R)2h/t2
相减得 (m1?m2)gR=(2hJ/R)(1/t12?1/t22)+(2hR)( m1/t12?m2/t22)
=2hJ(t22?t12)/(R t12t22)+2hR(m1t22 ?m2t12)/( t12t22)
有 J=[(m1?m2)gR2 t12t22/[2h(t22?t12)]? R2(m1t22 ?m2t12)/(t22?t12)
=1.06×103kg·m2
2.(1)子弹击中圆盘的过程中,子弹和圆盘组成的系统对O点的角动量守恒
mv0R=( MR2/2+mR2)? ?=2mv0/[(M+2m)R]
(2)求圆盘的摩擦阻力矩.取圆环微元dr,其摩擦阻力矩为
dM?=?dmgr=??2?rdrgr=2???gr2dr
M???R02???gr2dr=2???gR/3=2?MgR/3
3
(3) ?M??t=0?J?
?t=J? /M?
22
=( MR/2+mR){2mv0/[(M+2m)R]}/(2?MgR/3) =3mv0 /2?Mg
练习2 转动定律(续) 角动量 一.选择题A B D A B 二.填空题
4
1. 1N·m·s, 1m/s. 2. ??3gsin?/l3. ? 0 /3. 三.计算题
1. (1)定滑轮受绳的张力T产生的力矩, 重物受绳的张力T和重力mg.取初角速度? 0的方向为坐标正向,对定滑轮和重物分别列方程,有 ?TR=J?= (MR2/2)?
T ?mg=ma= mR?
得 ?=?2mg/[(2m+M)R]=?81.7rad/s2
负号表示方向与初角速度? 0的方向相反 (2) ?222 ??0=??0=2? ??
??=??22
0/(2?)=?0(2m+M)R /(4mg) h=R??=?20(2m+M)R 2/(4mg)=6.12×10?2m (3) 物从最大高度回到原位置定滑轮转角
???=???=??20(2-4mmg+M)R/(4?mg2????=?2) m?M有 ??2?R =2
(2m?M)R??04mg=?20 所以当物体回到原位置时 ?? =?0=10.0rad/s
方向与初角速度? 0的方向相反
2. 因碰撞时间极短, 摩擦阻力矩M???冲力矩M, 细棒与滑块的角动量近似守恒
mvm2
21l=- m2v2l+ (1l/3)? m21?l/3= m2 ( v1+v2) l 而 Ml?=??g?m1/l?xdx=? m1gl/2
0t??M?dt?-? m1glt/2
0=0-m2
1?l/3=-m2( v1+v2) l t=2m2( v1+v2)/(? m1g)
5