loading取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB
∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE
25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
DEFCAB
证明：∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF， 即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS） 26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。
AFBMCE
证明： ∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线. 27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。
ADBC
∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC 28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF
ADBCF
在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC
∠BDF=∠FDC DF=DF
∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
ABFECD
∵AB=DC AE=DF, CE=FB
CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：连接EF
∵AB∥CD ∴∠B=∠C
∵M是BC中点 ∴BM=CM
在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM
∴△BEM≌△CFM（SAS） ∴CF=BE
31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF. ∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等） ∵BE=DF
∴：△ABE≌△CDF（SAS）
32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。
D E A CF B
连接BD；
∵AB=AD BC=D
∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC； ∵BC=DC E\\F是中点 ∴DE=BF；
∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF。 33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
DA1532E64CB
证明：
在△ADC，△ABC中
∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边） ∵AB=AD，BC=CD 在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD ∴△DEC≌△BEC（两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
∵AD=DF
∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）
35．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
C D F E
A
证明：
∵BD⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE⊥AB ∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS) ∴BE=CD
36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF．
A E F B D C 证明：
∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90° 在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF
∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF
37.已知：如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
A E D B C ∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA） ∴AD=AB=5
38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
AEFBMC证明：
∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME和△CMF中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME≌△CMF（AAS） ∴MB=MC．
39.如图，给出五个等量关系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE
④?D??C ⑤?DAB??CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA 求证：△DAB≌△CBA
证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
40．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①?ADC≌?CEB；②DE?AD?BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
F E A M B C
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF， 在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABF， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC⊥BF．
42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
NA43FE1M2BC证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN