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22．（8分）（2016?福州）列方程（组）解应用题：
某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．
【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．
根据题意得：解得：
．
．
答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 23．（10分）（2016?福州）福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示． 根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了 7 万人；
（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 2014 ；
（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．
【考点】折线统计图． 【分析】（1）将2015年人数减去2014年人数即可；
（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知； （3）可从每年人口增加的数量加以预测． 【解答】解：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750﹣743=7（万人）；
（2）由图可知2012年增加：2013年增加：2014年增加：2015年增加：
×100%≈0.98%，
×100%≈0.97%， ×100%≈1.2%， ×100%≈0.94%，
故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年； （3）预测2016年福州市常住人口数大约为757万人，
理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数大约为757万人． 故答案为：（1）7；（2）2014．
【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．
24．（12分）（2016?福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为（1）求证：BM=CM； （2）当⊙O的半径为2时，求
的长．
中点，连接BM，CM．
【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质． 【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可； （2）根据弧长公式计算． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD，
∴=， 中点， ， =
+
，即
=
，
∵M为∴∴
=+
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2， ∴⊙O的周长为4π， ∴
的长=
×4π=
π．
【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．
25．（12分）（2016?福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=连接BD．
（1）通过计算，判断AD与AC?CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数．
2
，在AC边上截取AD=BC，
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD与AC?CD的值，从而可得到AD与AC?CD的关系；
（2）由（1）可得到BD=AC?CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数． 【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=∴AD=∴AD=
22
2
22
， ．
=
．
，DC=1﹣
=
=
，AC?CD=1×
∴AD=AC?CD．
2
（2）∵AD=BD，AD=AC?CD， ∴BD=AC?CD，即又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC． ∴
，∠DBC=∠A．
2
．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x． ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°． 解得：x=36°． ∴∠ABD=36°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键． 26．（13分）（2016?福州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
【考点】矩形的性质；角平分线的性质． 【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD?tan∠DAM=即可；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出
∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、
H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果． 【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM， ∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°，
∴DM=AD?tan∠DAM=3×tan30°=3×
=
；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1， ∴∠MAQ=∠AMQ， ∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x， ∵∠ANM=90°， ∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ=AN+NQ，
222
∴（x+1）=3+x， 解得：x=4，
∴NQ=4，AQ=5， ∵AB=4，AQ=5， ∴S△
NAB=
2
2
2
S△NAQ=
×AN?NQ=××3×4=；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，
∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°， ∴△ABH∽△BFC， ∴
=
，
∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示： 由折叠性质得：AD=AH， ∵AD=BC， ∴AH=BC，