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一元一次方程
【培优图解】
【技法透析】
1．一元一次方程的有关概念
(1)方程：含有未知数的等式叫方程：由方程的定义可知：判断一个数学式子是否为方程，只需要看它是否具备以下两个条件：①这个式子必须是等式，②这个等式中必须含有未知数，这两个条件缺一不可，否则就不是方程．方程必是等式，但等式不一定是方程． (2)方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫方程的解．
(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．“解方程”是指确定方程的解的过程，也就
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是把方程进行变形的过程，因此，“解方程”与“方程的解”是两个完全不同的概念．
(4)一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数为1，这样的方程叫一元一次方程，判断一个方程是不是一元一次方程，必须具备以下三个条件：①必须是整式方程；②
2?3是分式方程而x不是整式方程，方程3x－2y＝1中含有两个未知数，方程2x－5＝x2＋1中未知数的最高次数为2（次），因此，这三个方程都不是一元一次方程．像方程5x－3＝5（x－1），从表面上看，好像是一元一次方程，其实经过化简后这个方程变为－3＝－5，就不是一元一次方程；而像方程x2－2x－3＝x2＋5，表面上看它是一元二次方程，其实经过化简后，这个方程变为－2x＝8，所以实际上它是一元一次方程．
2．等式的性质
(1)等式的性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式，即：如果a＝b，则a±c＝b±c．
(2)等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数所得的结果仍是等
ab
式．即：如果a＝b，则ac＝bc，?．(c≠0)
cc
3．解一元一次方程的一般步骤
(1)去分母：即在方程的左、右两边都乘以各分母的最小公倍数，去公母的依据是等式的性质2．去分母时要防止漏乘不含分母的项，同时要把分子（如果含几项）作为一个整体用括号括起来，以及分母约分后“1”省略不写．
(2)去括号：去括号的依据是去括号法则及乘法分配律．去括号时先要分清括号前是“＋”还是“－”号，不要弄错符号，还要防止漏乘括号里后面的项．
(3)移项：移项是解方程常用的一种变形．移项的依据是等式的性质．一般是把含有未知数的项移到方程的左边，把不含未知数的项都移到方程的右边．注意移项一定要变号． (4)合并同类项：运用合并同类项法则，将方程化为ax＝b(a≠0)的形式．合并同类项的依据是乘法分配律．
b (5)系数化为1：即在方程左、右两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为x＝．系
a数化为1的依据是等式的性质2，它是解一元一次方程的最后_步变形，经过系数化为1的变形就可以求出未知数的值，从而得到一元一次方程的解．在系数化为1时，两数相除不要写反了，要明确哪个是被除数，哪个是除数，不要颠倒了．
在解方程时，需要我们既要学会按部就班（严格按步骤），又要能随机应变（可根据方程的结构特征灵活打乱步骤）．
4．含字母系数的一元一次方程
含字母系数的一元一次方程总可以化为：ax＝b的形式．当字母a、b的取值范围未给出时，则要讨论解的情况，其方法是：
b (1)当a≠0时，方程有唯一解，即x＝
a (2)当a＝0，b＝0时，方程有无数个解；
只含有一个未知数；③未知数的次数为1，且系数不为0．如方程x－
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(3)当a＝0，b≠0时，方程无解． 5．解一元一次方程的常用技巧
(1)有多重括号时，去括号与合并同类项可交替进行： (2)当括号内含有分数时，常由外向内去括号再去分母； (3)当分母中含有小数时，先用分数的基本性质化为整数；
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作是一个整体进行变形． 6．列方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意，即弄清题目中已知什么，要求什么，明确各个数量之间是什么关系． (2)找相等关系，要善于从应用题中发现直接的或隐含的表示已知数和未知数全部含义的相等关系．
(3)设未知数，并列出相应的数量关系的表达式，设未知数有直接设法与间接设法． (4)列方程，将相等关系转化为方程．
(5)解方程，求出所列方程的解，求解的过程可以简化．
(6)检验并作答，检验所解得的方程的解是否符合题意或实际问题，最后再作答．“设”与“答”要带单位，且单位要统一．
【名题精讲】
考点1 利用一元一次方程的定义解题 例1 已知方程（m－2）xm?1＋16＝0是关于x的一元一次方程．求m的值和方程
的解．
【切题技巧】 由一元一次方程的定义可知：关于x的一元一次方程的条件是只含有一个未知数，未知数的次数为1且其系数不为0，于是应有：
m－2≠0，m?1?1．从而可求得m的值及相应的方程的解． 【规范解答】
【借题发挥】 一元一次方程必须同时满足以下三个条件：①必须是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的次数为1且系数不为0，利用定义法解题是数学解题的一种方法，从本质上说，数学中的定理、公式、法则和性质等，都是由定义和公理推演出来的．巧用定义法解题必须对定义有透彻的理解．
【同类拓展】 1．已知(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程． (1)求代数式200(m＋x)（x－2m）＋10m的值．
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(2)求关于y的方程my?1＝x的解． 考点2 一元一次方程的解法
3?2?111??例2 解方程??x?1??2??2?x．
2?3?422??323互为倒数，×2是整数，故解此方程时先不急于去分母，232而应先去中括号，再去小括号计算较简便．
观察方程结构特征：与
11?1?【规范解答】 去中括号得：?x?1??3?2?x
22?4?131x??x 42213移项合并得：?x??
42系数化为1得：x＝6
【借题发挥】 灵活解一元一次方程时常用到的方法技巧有：①若有多重括号，应根据方程中数据特征，灵活运用去括号法则与合并同类项法则，交替进行；②若括号内含分数时，则由外向内先去括号、再去分母；③恰当运用整体思想，因此在解方程时，既要学会严格按步骤进行，又要依据方程结构特征灵活变通步骤．
去小括号整理得：
?1?1?1?x?a???4??7??10??1的解．那么a＝【同类拓展】 2．如果x＝2是???9?6?3?2???_______．
考点3 含字母系数的一元一次方程 例3 解关于x的方程：
2a(a－4)x＋4(a＋1)x－2a＝a2＋4x
【切题技巧】 先将原方程整理为“ax＝b”的形式，因为是字母系数的一元一次方程，所以必须讨论方程解的情况．
【规范解答】 原方程整理得：a（2a－4）x＝a（a＋2） ①当a≠0，a≠2时方程有唯一解，x?a?2 2a?4 ②当a＝0时，方程有无数个解； ③当a＝2时，方程无解．
【借题发挥】 含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论
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方程的解的情况，其方法为：①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．
【同类拓展】 3．如果a、b为常数，关于x的方程：
b；当a＝0，b＝0时，a2kx?ax?bk，无论k?2?3b为何值时，它的解总是1．求a、b的值．
考点4 设元技巧
例4 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加1倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则从乙港返回甲港需航行 ( )
A．0.5小时 B．1小时 C．1.2小时 D．1.5小时
【切题技巧】 本题要求从乙港返回甲港所需的时间，则需要求甲、乙两港间的距离及顺水航行的速度，故可考虑设辅助未知数，设甲、乙两港的距离为S，船在静水中的速度为x0，原水流速度为x1，依题意有：
【规范解答】 B
【借题发挥】 恰当、合理地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定，对未知元的选择，有时可将要求的量作为未知数（即问什么设什么）称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其它量设为未知元（即所设的不是所求的，但更易找出符合题意的数量关系与相等关系）称此为间接设元；有时应用题中隐含一些未知的常量，这些量对求解无直接联系；但如果不指明这些量的存在，则难求其解．因此需要把这些未知的常量设为参数，以便建立相等关系，称此为辅助设元，辅助设元的目的不是为了求其值，而是为列方程创造条件．
【同类拓展】 4．A和B分别从甲、乙两站于早上8：00出发相向而行，40分钟相遇，相遇后，两人继续向前，A到达乙站后立即返回，又行走了全程的
15后追上B，A追16上B时是_______时_______分．
考点5 常见题型的应用题
例5 初一(1)班有学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5，并且这两个小组都不参加的人数比两小组都参加的人数的
1多42，则同时参加这两个小组的人数是 ( ) A．16 B．12 C．10 D．8
【切题技巧】 本题较复杂、数量较多，我们可以把该班人数分四个部分，即：两个
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小组都参加，仅参加数学小组，仅参加英语小组，两个小组都不参加．于是可设同时参加这两个小组的有x人，则仅参加数学小组的有(36－x)人．仅参加英语小组的有（36－5－x）人．两个小组都不符加的有(
11x＋2)人，依题意有：x＋(36－x)＋(36－5－x)＋(x＋2)＝4460 ∴x＝12．
【规范解答】 B
【借题发挥】 常见题型的应用题包括：行程与时钟问题，工程与比例分配问题，浓度与调配问题；数字与日历、数表问题；市场营销与方案决策问题；增长率等，这类应用题在中考、竞赛中一直是热点之一，需要我们认真审题，分清各类应用题的基本数量关系，运用画线段示意图和列表格的方式来帮助分析题意，使题意变得直观、清晰．
5．将连续的奇数：1，3，5，7，……排成如右图数表，用十字框任意框出5个数，十字框框出的五个数之和能等于2000吗？能等于2010吗？能等于2055吗？若能，请写出十字框框出的五个数．
考点6 情景应用题
例6 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
(1)若一次性购物少于200元，则不优惠；(2)若一次性购物满200元，但不超过500元，按标价给予9折优惠；(3)若一次性购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）按标价给予9折优惠，超过500元部分按标价8折优惠．李明两次去超市购物，分别付款198元和554元．现在王娟准备一次性地购买和李明分两次购买同样多的物品，她需付多少元？
【切题技巧】 先根据两次购物的付款情况分别对购物款作一个初步估计，因为第一次付款为198元，有可能未享受优惠，也有可能是打九折后的付款，故有两种情况，而第二次付款为554元，显然第二次的购物款超过了500元，再分别求出两次的实际购物款．
【规范解答】
6
【借题发挥】 解数学情景应用题要在读懂材料并理解题意的基础上，用数学的眼光去观察问题，理解题意，培养数学应用意识，解决问题．本例中要分情况讨论，购物超过500元时，应分段累计付款，“打n折”的含义为按标价的n×10%付款． 6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资不超过800元的不需交税，超过800元的部分为全月应纳锐所得额，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如表；某人3月份纳税款为117.10元，求他当月的工资是多少？
参考答案
1．(1)2010 (2)y＝5或y＝－3. 2．－4
13??a?3．?2
??b??44．9时55分．
5．不能为2000 也不能为2011 能等于2055，且这五个数分别为：409，411，413，399，423.
6．2221元．
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