loading专题15 角含半角模型
破题策略
1． 等腰直角三角形角含半角
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45° （1） △BAE∽△ADE∽△CDA
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（2）BD＋CE＝DE．
A45°BDEC
证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，
所以△BAE∽△ADE∽△CDA．
（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．
A45°FB
DEC则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD， 所以△ADE∽△FAE （ SAS ）． 所以DE＝ EF．
而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，
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所以BD＋ CE＝CF＋CE＝EF＝DE．
方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．
A45°BDFEC
因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，
又因为∠BAD＝∠DAF，
则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC， 所以△FAE∽△CAE（SAS）．
所以EF＝ EC．
而DF＝BD， ∠DFE＝∠AFD＋ ∠AFE＝90°，
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所以BD＋ EC＝ FD＋ EF＝ DE．
【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的
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延长线上，且∠DAE＝45°，则BD＋CE＝DE．
ABDCE
可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：
FAAFBDCEBDCE
②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在
1BC上，且∠DAE＝∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°
2－∠BAC．
ABDEC
可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：
AAFBBDFECDEC
2． 正方形角含半角
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连结EF，则：
B45°EABEGABHE45°ACF图1DCF图2DCF图3D
（1）EF＝BE＋DF;
（2）如图2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;
（3）如图3，连结BD交AE于点H，连结FH． 则FH⊥AE．
（1）如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADI证明．
BEACF图4DI
则∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE，
所以△AEF∽△AIF（SAS）， 所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．
（2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，
所以AG＝AD．
（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H 四点共圆， 从而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°， 即FH⊥AE．
【拓展】①如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，∠EAF＝45°，连结EF，则EF＝DF－BE．
EBAFCD
可以通过旋转的方法来证明.如图: