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题转化、抽象问题向具体问题转化等。如在加法的基础上，利用相反 数的概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到了代数和的 概念；在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出除法法则，使互逆 的两种运算得到统一。又如，对等腰梯形有关性质的探索，除了教材 中利用轴对称方法外，还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、 延长两腰相交于一点等方法， 把等腰梯形转化到平行四边形和三解形 的知识上来。
除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：
多元转化为
一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三 角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等 式的知识解答??
5、变换思想
变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。 解方程中的同解变换，定律、 公式
中的命题等价变换，几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想 。具有优秀思维品质的一个重要特征 , 就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题 , 但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。
例
四边形 ABCD中,
AB = CD,
BC = DA,
E、F 是 AC上的两
点 , 且 AE = CF. 求证 : DE=BF.
这道题若是由已知向后推理较难把握方向，但用变换方法寻找
证法比较易：要证 DE= BF，只要证△ ADE≌△ CBF（证△ ABFE≌△ CDE 也可）；要证△ ADE≌△ CBF，因题目已知 BC = DA，AE = CF，只要
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证∠ DAE=∠BCF；要证∠ DAE=∠BCF，可由△ ABC≌△ CDA得到，而由
已知条件 AB = CD, BC = DA, AE = CF 不难得到△ ABC≌△ CDA。这
样问题就解决了。
6、方程思想
方程思想的实质就是数学建模 , 解应用题是方程思想应用的最突出体现。 例
某工人每天早晨在同一时刻从家里骑车去工厂上班，
如果以
每小时 16 千米的速度行驶， 则可在上班时刻前 15 分钟到达工厂； 如
果以每小时 千米的速度行驶，则在工厂上班时刻后
15 分钟到达工
厂。
① 求这位工人的家到工厂的路程；
②
这位工人每天早晨在工厂上班时刻前多少小时从家里出发？
这道题若通过构建方程求解
, 能很易求出答案。
略解 : ①设这位工人的家到工厂的路程为
x，则可得
，解得 x =12
（千米 / 小时）；
②这位工人每天早晨在工厂上班时刻前 或 = 1 小时从家里出
发。 又如
甲乙两人同时从
A地出发，步行
15 千米到 B 地，乙比甲
每小时少走 1 千米，结果比甲迟到
小时，求甲、乙两人的速度。 这道题若通过构建方程求解 , 也不难求出答案。
略解：设甲每小时走
x 千米，则乙每小时走（ x－1）千米，依题
意得
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2 =解得 x 1 = 6 , x －5
经检验 x = 6 , x 2 =－5 都是原方程的根，但
舍去；
由 x = 6 得 x－1=5；于是甲每小时走
x2 =－5 不合题意，
6 千米，乙每小时走 5 千米。
7、比较思想 所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行
辨别。 比较是一切理解和思维的基础， 随着学习的不断深入， 学生要掌握越来越多的知识， 这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。
例如，在因式分解的教学中，通过复习整式乘法，让学生比较这两种运算的异同， 明
确因式分解与整式乘法是恒等变形， 又是互逆运
算。如（ a+b)(a-b) = a －b 是整式乘法， a－b = （a+b)(a-b) 是因式分解。在不等式的解法教学时，可以对比一元一次方程解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为 1 这些步骤是一样的。当然，要特别比较化系数为 1 时两者的不同之处。又如，全等三角形是相似三角形在相似比为 1 时的特例，两个三角形相似和全等有它特定的内在联系，因此，全等三角形的识别方法可以类比相似三角形的识别方法。再如，轴对称图形、旋转对称图形、中心对称图形是意义不尽相同的概念， 通过类比可以发现它们之间的异同， 从而加深对这几个概念的本质属性的认识。类比要点如下图：
8、统计思想
2222
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初中数学教材中 , 专辟了介绍统计初步知识的内容（旧课标放在
初三代数部分的最后一章，新课标分散于各个年级） 从中提炼并掌握一些处理数据的方法
, 就是要求学生
, 并用来解决一些实际问题。
二、初中数学教学应如何加强数学思想方法的渗透 1. 提高渗透的自觉性
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有
“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里， 是无“形”的，并且不成体系地散见于
教材各章节中。教师讲不讲，讲多少，随意性
较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识， 把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的， 把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材， 努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素， 对于每一章每一节， 都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。
2. 把握渗透的可行性
数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此， 必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机——概念形成 的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律 揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自 然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的
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种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反 的做法。
3. 注重渗透的渐进性和反复性
数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为 此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”。因为在这
个过程中提炼出来的数学思想方法，
对学生来说才是易于体会、
易于
接受的。其次要注意渗透的长期性。应该看到，对学生数学思想方法 的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过 程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练， 才能使学生真正地
有所领悟。
总之 , 在数学教学中 , 只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想 , 同时注意渗透的过程 , 依据课本内容和学生的认知水平 , 从初一开始就有计划的渗透 , 就一定能提高学生的学习效率和数学能力。
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