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数学·选修1-2(A)第一章 统计案例
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
【课标要求】
1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤；
4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法和初步应用． 【核心扫描】
1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回归方程．(重点) 2．回归模型的选择，特别是非线性回归模型．(难点、易错点)
自学导引
1．回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 2．线性回归模型
(1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b为未知参数，e为随机误差．
^
^
(2)对参数a和b的估计，由《数学必修3》可知：最小二乘法估计a和b就是未知参数a、b的最好估计，其计算公式为
i＝1
? ?xi－x??yi－y??xiyi－nxy
i＝1
^
2
^
nn
^
b＝＝i＝1
? ?xi－x?2
n
i＝1
?xi2－nx
n
，a＝y－bx，
1n1n
其中x＝?xi，y＝?yi，(x，y)称为样本点的中心．
ni＝1ni＝1
(3)解释变量和预报变量
线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e，因变量y由自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只解释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过( ).
x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 A．点(2,3) B．点(1.5,4) C．点(2.5,4) D．点(2.5,5)
提示 选C.线性回归方程必过样本点的中心(x，y)，即(2.5,4)． 3．刻画回归效果的方式 残差 ^^^数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－yi)是随机误差．称ei＝yi－yi为残
差，ei称为相应于点(xi，yi)的残差.? (yi－yi)2称为残差平方和 i＝1^n^残差图 残差 图法 利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图 残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高 ^n残差平 残差平方和为? (yi－y)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好 方和 i＝1n^i＝12? ?yi－yi?2相关指 R＝1－，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于n数R2 ? ?yi－y?2i＝11，表示回归的效果越好 想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？ 提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等．
4．非线性回归分析
(1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围，而不是一条直线附近．我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系而是非线性相关关系．
(2)非线性回归方程线性化
①y＝axn(其中a，x，y均为正值)(幂函数型函数) lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a， 则u＝nv＋b，图象为一直线． ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数)
lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a， 则u＝dx＋b，图象为一直线．
名师点睛
1．线性回归方程
(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程．
^^^^^^
(2)求线性回归方程y＝bx＋a的关键是求未知参数a和b，其中b可借助于计算器求出，因^^^^
为a＝y－bx，即y＝bx＋a，所以点(x，y)一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点(x，y)．
(3)求线性回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出x，y，
22
x21＋x2＋…＋xn，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值；
^^
②计算未知参数a，b；
^^^
③写出线性回归方程y＝bx＋a. 2．线性回归分析
(1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值． (2)随机误差的主要来源
①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②省略了一些因素的影响产生的误差；
③观测与计算产生的误差．
(3)残差分析是回归分析的一种方法． (4)用相关指数R2来刻画回归效果．
R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
3．建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大或残差呈现不随机的规 律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
题型一 求线性回归方程
【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 学科 88 76 73 66 63 数学成绩(x) 78 65 71 64 61 物理成绩(y) (1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
[思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解．
解 (1)散点图如图．
1
(2)x＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
51
y＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
5
5i＝15
?xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
22222
?x2i＝88＋76＋73＋66＋63＝27 174.
i＝1
^
i＝1
?xiyi－5xy?xi2－5x
5
2
5
所以b＝
i＝1
25 054－5×73.2×67.8
＝ 27 174－5×73.22≈0.625.
^
^
a＝y－bx≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以y对x的回归直线方程是
^
y＝0.625x＋22.05.
^
(3)x＝96，则y＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是82.
规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．
(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．
【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
115 110 80 135 105 房屋面积/m2 24.8 21.6 18.4 29.2 22 销售价格/万元 (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格． 解 (1)数据对应的散点图如下图所示：
515
(2)x＝?xi＝109，? (xi－x)2＝1 570，
5i＝1
i＝1
5
y＝23.2，? (xi－x)(yi－y)＝308.
i＝1
^
^
^
设所求回归直线方程为y＝bx＋a，
i＝1
? ?xi－x??yi－y?
＝i＝1
5
^
则b＝
? ?xi－x?2
5
308
≈0.196 2， 1 570
^^
^
a＝y－bx＝0.181 42.
故所求回归直线方程为y＝0.196 2x＋1.814 2. 回归直线如上图所示．
(3)据(2)，当x＝150 m2时，销售价格的估计值为
^
y＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．
题型二 线性回归分析
【例2】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2；
(3)进行残差分析．
[思路探索] 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄．