loading高难拉分攻坚特训(四)
1．设数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＋an＝2n＋1，且Sn＝1350.若a2<2，则n的最大值为( )
A．51 B．52 C．53 D．54 答案 A
解析 因为an＋1＋an＝2n＋1 ①， 所以an＋2＋an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3 ②，
②－①得an＋2－an＝2，且a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＝4n－1，所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项，2为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以a2为首项，2为公差的等差数列，数列{a2n－1＋a2n}是以4为公差的等差数列，
??所以S＝?n??
nnn＋
2
＋a1－，n为奇数，
n＋
2
，n为偶数.
当n为偶数时，
nn＋
2
＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下
来不会有相邻两数之积为2700)．当n为奇数时，
nn＋
2
＋(a1－1)＝1350，a1＝1351－
>1，所以n(n＋1)<2700，
nn＋
2
*,
，因为a2<2，所以3－a1<2，所以a1>1，所以1351－
nn＋
2
又n∈N51×52＝2652，所以n≤51，故选A.
2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．
答案
512 81
解析 因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E点，设BC＝a，则BO＝＋OB＝EB，故EO＝
2
2
2
a，在Rt△EOB中，则有EO22
4－，正四棱锥的高为2＋
2
a21
4－，正四棱锥的体积为V＝
23
a2?
×a×?2＋
?
2
4－?，令x＝
2?
a2?
12
4－，x∈(0,2)，则V(x)＝×(8－2x)×(2＋x)，即V(x)
23
a211322
＝×(－2x－4x＋8x＋16)，对V(x)求导得，V′(x)＝×(－6x－8x＋8)，令V′(x)＝0，332?2?2
即－6x－8x＋8＝0，解得x＝或x＝－2(舍去)，当x∈?0，?时，V′(x)>0，V(x)单调递增，
3?3?
2512?2?当x∈?，2?时，V′(x)<0，V(x)单调递减，故当x＝时，V(x)max＝. 381?3?
3．已知F是抛物线C：x＝2py，p>0的焦点，G，H是抛物线C上不同的两点，且|GF|5→→
＋|HF|＝3，线段GH的中点到x轴的距离为.点P(0,4)，Q(0,8)，曲线D上的点M满足MP·MQ4＝0.
(1)求抛物线C和曲线D的方程；
(2)是否存在直线l：y＝kx＋m分别与抛物线C相交于点A，B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S，T(S在T的左侧)，使得△OAT与△OBS的面积相等？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
5p31
解 (1)由抛物线定义知＋＝，得p＝，
4222故抛物线的方程为x＝y.
2
2
→→
由MP·MQ＝0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆， 其方程为x＋(y－6)＝4.
(2)由△OAT与△OBS的面积相等得|AT|＝|BS|， 则|AS|＝|BT|，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)，
2
2
→→
由AS＝(x3－x1，y3－y1)，TB＝(x2－x4，y2－y4)， →→
且AS＝TB得x3－x1＝x2－x4，即x1＋x2＝x4＋x3.
(ⅰ)当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝m，此时只需点(0，m)在圆D内即可，此时4 (ⅱ)当直线l的斜率不为0时， ??y＝kx＋m， 由方程组?2 ?x＝y? 得x－kx－m＝0， 2 因为直线l与抛物线交于A，B两点， 所以Δ＝k＋4m>0，① 且x1＋x2＝k. ??y＝kx＋m， 由方程组?2 ?x＋y－? 2 22 2 ＝4 2 得(1＋k)x＋2k(m－6)x＋(m－6)－4＝0， 直线l与圆D交于S，T两点，所以圆心D(0,6)到直线l的距离d＝即(m－6)<4(1＋k)，② 2k且x3＋x4＝－ 2 2 |m－6|1＋k2 m－2 1＋k. ，k≠0， 2km－ 因为x1＋x2＝x4＋x3，所以k＝－21＋k化简得k＝11－2m. ??11＋2m>0， 代入①②得?2 ?m－? 2 －m，11 . 2 解得－2 又k＝11－2m>0，∴－2 2 综上所述，实数m的取值范围为(－2,8)． ?1?4．已知函数f(x)＝ln x＋a?－1?，a∈R. ?x? (1)若f(x)≥0，求实数a取值的集合； (2)当a＝0时，对任意x∈(0，＋∞)，x1 x2－x1 ，证明： fx2－fx1 x1