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2018-2019学年选修2-2第二章训练卷
推理与证明(一)
号注意事项：
位座1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准 封 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
密 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
号不场4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
考 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
订 1.实数a、b、c不全为0等价于( ) A.a、b、c均不为0 B.a、b、c中至多有一个为0 装 号C.a、b、c中至少有一个为0 证考D.a、b、c中至少有一个不为0 准2.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示：
只
卷 按照上面的规律,第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) 名A.6n－2
B.8n－2
C.6n＋2
D.8n＋2
姓3.已知数列?an?的前n项和Sn?n2?an ?n?2?,而a1?1,通过计算a2、a3、a4,猜想 此 an?( )
A.
2 ?n?1?2 B.
2n?n?1?
C.22n D.2－12n－1
级4.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,则第100项为( ) 班A.10 B.14 C.13 D.100
5.用分析法证明：欲使①A>B,只需②C C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),当x1 x B.f(x)＝(x－1)2 C.f(x)＝ex D.f(x)＝ln(x＋1) 7.已知1?2?3?3?32?4?32??n?3n?1?3n(na?b)?c对一切n∈N*都成立, 那么a、b、c的值为( ) A.a＝112,b＝c＝4 B.a＝b＝c＝1 4 C.a＝0,b＝c＝14 D.不存在这样的a、b、c 8. 已 知 f1???c,f2?x??f1??x?,f3?x??f2??xx?,f4o?x??f3??x?,,fn?x??fn－1??x?,则f2016?x?等于( ) A.sinx B.?sinx C.cosx D.?cosx 9.已知各项均不为零的数列?an?,定义向量cn??an,an＋1?,bn??n,n?1?,n?N*. 下列命题中真命题是( ) A.若?n?N*总有cn∥bn成立,则数列?an?是等差数列 B.若?n?N*总有cn∥bn成立,则数列?an?是等比数列 C.若?n?N*总有cn?bn成立,则数列?an?是等差数列 D.若?n?N*总有cn?bn成立,则数列?an?是等比数列 10.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根,那么a、b、c中至少有一个是偶数”,下列各假设中正确的是( ) A.假设a、b、c都是偶数 B.假设a、b、c都不是偶数 C.假设a、b、c中至多有一个是偶数 D.假设a、b、c中至多有两个偶数 sx 11.已知函数f(x)＝lg1－x 1＋x,若f?a??b,则f(?a)等于( ) A.b B.－b C.1b D.－1b 12.已知f(x)＝x3 ＋x,a、b、c∈R,且a?b?0,a?c?0,b＋c>0, 则f?a??f?b??f?c?的值( ) A.一定大于零 B.一定等于零 C.一定小于零 D.正负都有可能 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.“∵AC、BD是菱形ABCD的对角线,∴AC、BD互相垂直且平分.”以上推理的大前提是________. 14.设函数f?x??x x＋2 (x>0),观察： f1?x?＝f?x?＝x x＋2 , ffx 2?x?＝f?1?x??＝3x＋4 , f?＝f?fx 3?x2?x??＝7x＋8, f?x?＝f?fx 43?x??＝15x＋16, … 根据以上事实,由归纳推理可得： 当n∈N*且n≥2时,fn?x?＝f?fn－1?x??＝________. 15.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a?b?b?a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a?b)?c?a?c?b?c”； ③“t≠0,mt＝nt?m＝n”类比得到“c?0,a?c?b?c?a?b”； ④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“a?b＝a?b”； ⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“?a?b??c＝a??b?c?”； ⑥“acbc?aa?cab”类比得到“b?c?b”. 以上类比得到的结论正确的是________. 16.观察下列等式： 1＝1 13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36 1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225 … … 可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________.(n∈N*,用含有n的代数式表示) 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)观察下面所示的“三角数阵” 记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题： (1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； (2)依次写出a2、a3、a4、a5； (3)归纳出an＋1与an的关系式. 18.(12分)已知函数f?x??ax?x?2x?1?a?1?,求证： 函数f?x?在??1,???上为增函数. 19.(12分)已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线x2y2a2?b2?1,写出具有类似的性质,并加 以证明. 20.(12分)已知△ABC的三个内角A,B,C为等差数列,且a,b,c分别为角A,B,C的对边.求证：(a＋b)－ 1＋(b＋c)－ 1＝3(a＋b＋c)－ 1. 21.(12分)等差数列?an?的前n项和为Sn,a1＝1＋2,S3＝9＋32. (1)求数列?an?的通项an与前n项和Sn； Sn(2)设bn＝(n∈N＋),求证：数列?bn?中任意不同的三项都不可能成等比数列. n 122.(12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2. 2(1)求函数f(x)的单调区间和极值； 11 (2)证明：当x≥1时,f(x)>x3－x. 62 2018-2019学年选修2-2第二章训练卷 推理与证明(一)答 案 一、选择题. 1.【答案】D 【解析】“不全为0”的含义是至少有一个不为0,其否定应为“全为0”.故选D. 2.【答案】C 【解析】归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列,通项公式为an?6n?2.故选C. 3.【答案】B 【解析】aS112?2?S1?22a2?1,∴a2?3,a3?S3?S2?32?a3?22?a2?9a3?4?3, ∴a?16.a42?a134?S4?S3?4?32a3?16a4?9?6, ∴a4?110.由此猜想a2n?n?n?1?.故选B. 4.【答案】B 【解析】设n∈N*,则数字n共有n个,∴ n?n?1?2?100即n(n＋1)≤200, 又∵n∈N*,∴n＝13,到第13个13时共有13×14 2＝91项,从第92项开始为14, 故第100项为14.故选B. 5.【答案】B 【解析】∵②?①,∴①是②的必要条件.故选B. 6.【答案】A 【解析】若满足题目中的条件,则f(x)在(0,＋∞)上为减函数,在A、B、C、D四选项中,由基本函数性质知,A是减函数,故选A. 7.【答案】A ?3?a?b??c?1【解析】令n＝1,2,3,得??9?2a?b?c?7, ??27?3a?b??c?34 ∴a＝12,b＝c＝1 4.故选A. 8.【答案】A 【 解 析 】 由 已 知 , 有f1?x??cosx,f2?x???sinx,f3?x???cosx,f4?x??sinx,f5?x??cosx,,可以归 纳出： f4n?x??sinx,f4n?1?x??cosx,f4n?2?x???sinx,f4n?3?x???cosx?n?N*?. ∴f2016?x??f4?x??sinx.故选A. 9.【答案】A 【解析】∵对?n?N*总有cn∥bn,则存在实数??0,使cn??bn, ∴an??n,∴?an?是等差数列.故选A. 10.【答案】B 【解析】对命题的结论“a、b、c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a、b、c都不是偶数”.∵“至少有一个”即有一个、两个或三个,因此它的否定应是“都不是”.故选B. 11.【答案】B 【解析】f(x)定义域为(－1,1), ?1f(?a)?lg1?a?1?a?1?a1?a?lg??1?a????lg1?a??f?a???b.故选B. 12.【答案】A 【解析】f(x)＝x3＋x是奇函数,且在R上是增函数, 由a?b?0得a??b, ∴f?a??f??b?,即f?a??f?b??0,同理f?a??f?c??0,f?b??f?c??0, ∴f?a??f?b??f?c??0.故选A. 二、填空题. 13.【答案】菱形对角线互相垂直且平分 14.【答案】 x?2n?1?x?2n