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第1讲 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知 识 梳 理
1．向量的有关概念
名称 向量 定义 既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模) 长度为零的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫作共线向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 记作0 a非零向量a的单位向量为±|a| 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 求两个法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ 加法 向量和的运算 a＋(b＋c) 续表
求a与b的 相反向量 减法 －b的和的 运算叫作 a与b的差 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方数乘 求实数λ与向量a的积向与a的方向相同；当的运算 λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(3)向量AB
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( ) →＝1(AC→＋AB→)．( )
(5)在△ABC中，D是BC中点，则AD
2解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行．
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线
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λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb a－b＝a＋(－b) 上．
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
a＝b；③向量AB
A．① B．③ C．①③ D．①②
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，→与BA→互为相反向
但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB量，故③错误． 答案 A
→＝－1AB→＋4AC→，若BC→＝λDC→(λ∈
3.(2017·西安模拟)设D为△ABC所在平面内一点，AD
33R)，则λ＝( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3
→＝－1AB→＋4AC→，→＝－AB→＋4AC→，→－4AC→＝AD→－AB→，→
解析 由AD可得3AD即4AD则4CD
33→，即BD→＝－4DC→，可得BD→＋DC→＝－3DC→，故BC→＝－3DC→，则λ＝－3，故选D.
＝BD答案 D
4．(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的?λ＝μ，1实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得?解得λ＝μ＝2.
?1＝2μ，1答案
2
→＝a，OB→＝b，
5．(必修4P79B4改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝______，BC→＝________(用a，b表示)． 则DC
→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→
解析 如图，DC