loading2000上海大学 高等代数
abb???bc(一) 计算行列式:c?cab???bca???b ?c???c?a(二) 把二次型f(x1,x2,x3,x4)?x1x2?x2x3?x3x4?x1x4用非退化线性替换化成平方
和.
(三) A,B分别为n?m和m?n矩阵, In表示n?n单位矩阵.证明: m?n阶矩阵
?AIn?X???可逆当且仅当BA可逆，可逆时求出X的逆.
?0B?(四) 设e1,e2???en是n维线性空间Vn的一组基，对任意n个向量a1,a2???an?Vn，证明：
存在唯一的线性变换A，使得A(ei)?ai,i?1,2??n
(五) 设A是n维线性空间V的线性变换，求证：V?AV?A(0)当且仅当若a1,a2???ar为AV的一组基则Aa1,Aa2???Aar是A(V)的一组基. (六) 设A为2级实方阵，适合A2??2?1??10??0?1?A，求证：相似于???.
?0?1??10?22(七) 已知f,g均为线性空间V上线性变换，满足f?f,g?g试证：
（1）f与g有相同的值域?fg?g,gf?f. （2）f与g有相同的核?fg?f,gf?g.
2001上海大学 高等代数
xa1（一）计算行列式：a1a2xa2a2a3a2xa32ananan xa1（二）设A为3阶非零方阵，且A?0.
1
?a1??? （1）求证：存在a1,a2,a3，b1,b2,b3，A??a2??b1b2?a??3? （2）求方程组AX?0的基础解系.
b3?
222（三）用正交的线性替换化二次行f(x1,x2,x3)?x1?3x2?2x3?4x1x3?4x2x3为标准形
（四）设A为n?m阶实矩阵，且r(A)?m(n?m).若(AA')2?aAA'，求证AA'?aEm. （五）设A是n（n为奇数）维线性空间V上线性变换，若An?1?0,An?0求证：存在
a?V，使a?Aa,Aa?A2a,基下的矩阵.
,An?2a?An?1a,An?1a?a为V的一组基，并求A在此组
（六）设A是欧式空间V上的对称变换.求证：对任意a?0，都有a?0?Aa,a??0?A的所有特征值都小于0. （七）设B????Aa??，其中A为n阶负定矩阵，a为n维列实向量，?为实数.求证Ba???正定的充分必要条件为??a'A?1a?0.
（八）若A是正交阵，且?A特征值为1的重数是S，求证：A?(?1)（A为A的行列式）.
2002 上海大学 高等代数
sx1a（一）计算行列式：若A?2B?aax2aaaax3aa?AB?a，求A???.
BA??xnaa（二）设A是n阶可逆方阵，B??（1）计算B（K是整数），
k?AA??.
?0A?100（2）假设A?110，C为6阶方阵，而且BC?2C?E，求C.
111 2
?p?p（三）设A??p?p?p(n?1)p?p?p(n?1)p?p，A是n阶矩阵（p?0），
?p(n?1)p(n?1)p?p?p?p求AX?0的基础解系.
（四）构造一个3阶实对称方阵A，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).
（五）设向量组A：a1,a2,a3??an的秩为r（r?n），则A中任意r个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量ai1,ai2,或全为0或全不为0.
'（六）设A为n阶正定矩阵，Bn?m为秩为m的实矩阵，求证BAB?tE（t?0，E为
若kakaair?1，1i1?2i2k?ar1?i1r?则k1,k2k?0，
1r?单位矩阵）为正定矩阵.
（七）设A为欧式空间V上的线性变换，且A?E.
（1）求证：A是V上的正交变换的充分必要条件为A是V上的对称变换. （2）设V1?aa?V,Aa?a，求证：V?V1?V2是直和.
（八）设A为n阶实正交矩阵，a1,a2,a3??an为n维列向量，且线性无关，若
2??A?Ea1,A?Ea2A?Ean线性无关，则A?1.
2003上海大学 高等代数
xa（一）计算行列式：A?axaaaaxaaaaa（1）求A （2）求B
?A2A?（A为n阶矩阵），B???
AA??ax（二）设A为n?2k?1阶反对称矩阵，求A.
（三）设A,B为n阶整数方阵（A,B中元素为整数），若AB?E?A （1）求证：A??1，
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??200???（2）若B??1?20?，求A.
?23?2???（四）设A?(a1,a2an)为n阶方阵，r(A)?n?1，且an?a1?a2?an? 1??a1?a2?an?1?an，求AX??的解.
?k（五）设A是n阶可逆方阵，且A每行元素之和为a，求证：A的每行元素之和为a（k为正整数）
?k?Er（六）设A为n阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G使GAG????1??. ?Es?（七）设A?A，且A为n阶方阵，R(A)?r.
r（1）求证：E?A?2 （2）求证：R(A)?R(A?E)?n（3）若r?1，求AX?02的解.
（八）构造一个3阶实对称方阵A，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型
222f(X)?x12?x2?x3?x4?2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4
（1）求f(X)对应的实对称矩阵A .
（2）求正交变换X?PY，将f(X)化为标准型. （十）设A是n维线性空间V上的线性变换，a1,a2的特征向量.若a1?a2ak是对应的不同特征值?1,?2?k?ak?W，而W是A的不变子空间，则有维（W）?k
（十一）设B为欧式空间V上的变换，A为欧式空间V上的线性变换且有：
(Aa,?)?(a,B?),?a,??V.证明：
（1）B为欧式空间V上的线性变换. （2）A(0)?B(V)
2004 上海大学 高等代数
（一）设n阶可逆方阵A?(aij)中每一行元素之和为a(a?0)，证明：
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