loading第10讲 导数的概念及运算
[考纲解读] 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义． 123
2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数．
x3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数，并对导数的几何意义和物理意义做充分理解．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2020年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
1．变化率与导数 (1)平均变化率 概念 几何 意义 物理 意义 (2)导数
2．导数的运算
1．概念辨析
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( ) (4)函数f(x)＝e的导数是f′(x)＝e.( )
1
－x－x01f对于函数y＝f(x)，□x2－fx1Δy＝叫做函数y＝f(x)从x1到x2－x1Δxx2的平均变化率 02斜率 函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的□Δy若函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则就是该质点在Δx03平均速度 [x1，x2]上的□答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．小题热身
(1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3)′＝3log3e；②(log2x)′＝A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A
解析 ①中，(3)′＝3ln 3，错误；②中，(log2x)′＝
1
0·ln x－
xxxx1?1?′＝x. 1－x1－x；③(e)′＝e；④??x·ln 2?ln x?
11－x，正确；③中，(e)′
x·ln 2
＝－e
1－x，错误；④中，?
?1?′＝
??ln x?
xln x2
＝－
x1ln x2
，错误，因此求导运算正确
的个数为1.
32
(2)有一机器人的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2
t时的瞬时速度为( )
A.
19171513 B. C. D. 4444
答案 D
3313?23?解析 s′＝?t＋?′＝2t－2，当t＝2时，s′＝2×2－2＝，所以该机器人在tt?t24?13
＝2时的瞬时速度为. 4
(3)函数f(x)＝x＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( ) 3
A．10 B．5 C．－1 D．－ 7答案 D
解析 ∵f(x)＝x＋4x＋5， ∴f′(x)＝3x＋4，
∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7， 又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)， ∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，
33
当y＝0时，x＝－，切线在x轴上的截距为－.
77sinxπ
(4)曲线y＝在x＝处的切线方程为________．
x244
答案 y＝－2x＋
ππ解析 因为y′＝?
2
33
?sinx?′＝xcosx－sinx，
?x2?x?
2
πππcos－sin222π4
当x＝时，y′＝＝－2，
2π?π?2
?2???sinxπ
所以曲线y＝在x＝处的切线方程为
x2π
sin
24?π?y－＝－2?x－?，
2?ππ?
244
整理得y＝－2x＋.
ππ
题型 一 导数的运算
2
1．(2019·湖南十二校联考)若函数f(x)＝ln x－f′(－1)x＋3x－4，则f′(1)＝________.
答案 8
1
解析 因为f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
x所以f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，所以f′(1)＝1＋4＋3＝8. 2．求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)(3x＋1)； (2)y＝x－sin2xcos2x； (3)y＝ecosx； ln (4)y＝
2x＋1
x2
x2
.
2
3
2
解 (1)因为y＝(2x－1)(3x＋1)＝6x＋2x－3x－1， 所以y′＝18x＋4x－3.
1
(2)因为y＝x－sin2xcos2x，所以y＝x－sin4x，
21
所以y′＝1－cos4x×4＝1－2cos4x.
2(3)y′＝(ecosx)′＝(e)′cosx＋e(cosx)′ ＝ecosx－esinx＝e(cosx－sinx)． (4)y′＝?
xxxxxx?ln 2x＋1?′
?x??
3
＝
[ln 2x＋1]′x－x′ln 2x＋1
x2
2x＋1′
·x－ln 2x＋1
2x＋1
＝
x2
2x－ln 2x＋12x＋1
＝＝
x2
2x－2x＋1ln 2x＋1
. 2
2x＋1x
1．谨记一个原则
先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．熟记求导函数的五种形式及解法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． 3．求复合函数的导数的一般步骤
(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．
(2)由外向内逐层求导．如举例说明2(4)中对ln (2x＋1)的求导．
求下列函数的导数：
1sinx(1)y＝ln x＋；(2)y＝；
xx(3)y＝(x＋2x－1)e
22－x.
1?11??1?解 (1)y′＝?ln x＋?′＝(ln x)′＋??′＝－2.
?x??x?
xx(2)y′＝?
?sinx?′＝sinx′x－sinx·x′＝xcosx－sinx.
?x2x2?x?
2
2－x(3)y′＝(x＋2x－1)′e＝(2x＋2)e＝(3－x)e
2
2－x2
2－x＋(x＋2x－1)(e
2－x22－x)′
＋(x＋2x－1)·(－e)
.
题型 二 导数的几何意义角度1 求切线方程
1．过点(1，－2)且与y＝x－3x相切的直线方程为( )
4
3
A．y＝－2或9x＋4y－1＝0 B．y＝－2 C．9x＋4y＋1＝0 D．y＝0或9x＋4y＋1＝0 答案 A
解析 y′＝3x－3，设切点坐标为(x0，x0－3x0)，此时在切点处的斜率为y′|x＝x0＝3x0－3，所以切线方程为y－(x0－3x0)＝(3x0－3)(x－x0)，将点(1，－2)代入切线方程，整1322
理得2x0－3x0＋1＝0，即(x0－1)(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－，分别代入切线方程可
2得y＝－2或9x＋4y－1＝0.
2．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 y＝2x 解析 y′＝
22，k＝＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. x＋10＋1
3
2
2
3
2
2
3
角度2 求切点坐标(多维探究)
3．(2019·广州模拟)设函数f(x)＝x＋ax，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A．(0,0) C．(－1,1) 答案 D
解析 f′(x)＝(x＋ax)′＝3x＋2ax， 由题意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，
??3x0＋2ax0＝－1， ①
所以?32
?x0＋x0＋ax0＝0， ②?
2
3
2
2
B．(1，－1)
D．(1，－1)或(－1,1)
2
2
2
2
由①知x0≠0，故②可化为1＋x0＋ax0＝0，所以ax0＝－1－x0代入①得3x0＋2(－1－x0)＝－1，即x0＝1，
解得x0＝±1.
当x0＝1时，a＝－2，f(x0)＝x0＋ax0＝－1； 当x0＝－1时，a＝2，f(x0)＝x0＋ax0＝1， 所以点P的坐标为(1，－1)或(－1,1)．
条件探究 在举例说明3中增加条件“a>0”，若曲线y＝f(x)在点Q(x1，f(x1))处的切线与直线x＋4y＝0垂直，求点Q的坐标．
解 由举例说明3知f(x)＝x＋2x，
3
23
2
3
2
2
f′(x)＝3x2＋4x.
由题意得f′(x1)＝4，所以3x1＋4x1＝4， 2解得x1＝－2或x1＝，
3
2
f(－2)＝(－2)3＋2×(－2)2＝0， f??＝??3＋2×??2＝， 333
5
?2??2??????2???
3227