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本科学生毕业论文（设计）
文献综述
题 目 转化思想在初中数学解题中的应用
姓 名 罗娟
学 号 094080293 院、 系 数学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师（职称/学历）
2012年12 月01 日
云南师范大学教务处制
转化思想在初中数学解题中的应用
在数学学习中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用的多。 一方面，数学思想方法是学习数学的“工具”，为我们解决数学问题提供清晰的思路，另一方面在实际工作中也能为我们指明正确的工作方向，特别是在将来的实际工作中，《课程标准》要求教师要加强对学生数学思想方法的培养.在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是一种最基本最重要的思想方法。转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去.能掌握并合理利用这种方法，将对学生数学思维的培养、解题方法的灌输等产生重大而深远的影响。中学数学中转化思想无处不在无时不在，贯穿于代数、几何问题中，在方程、不等式、函数等问题的解决过程中经常用到。回顾我们处理数学问题的过程和经验，会发现我们常常是将待解决的陌生问题通过转化，归结为一个比较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法；也常将一个复杂的问题转化归结为一个或几个简单的问题来解决，等等。它们的科学概括就是数学上解决问题的一般思想方法——转化。
为了完成论文查阅了大量相关的国内外资料。其中匈牙利著名数学家P.罗莎(Razor Peter)在《无穷的玩艺》中写道:“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决的问题”。她曾用以下比喻十分生动地说明了转化法的实质。她写道:“假设你面前有煤气，水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做?”正确的回答是:“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上”。接着她又提出第二个问题:“假设所有的条件都不变，只是水壶中有了足够的水，这时你应该怎样去做?”对此，人们往往回答说:“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上”。但罗莎认为这并不是最好的回答。因为，“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我己经把后一问题转化成先前的问题了”。“把水倒掉”—这是多么简洁的回答，比喻有点夸张，但表明了数学家思考与解决问题的一个特点，与其它科学家相比，数学家特别善于使用转化思想，在各个分支中都是这样。
1628年，笛卡尔发表《指导思维的规则》一书，在该书中他开始意识到为了使“数、形同质”必须引进单位数，还明显地反映出利用横坐标和纵坐标之间的依存关系，用代数把握几何的思想。笛卡尔的这一思想对当时的数学产生了很大的影响，它填补了在代数和几何之间的鸿沟，将代数运算和几何作图放置于完全平行的位置，从而为代数与几何的统一奠定了基础。笛卡尔的这种用代数方法解决几何作图问题的思想并没有止步，接着他又创造了一种用代数方法表示几何曲线的方法。把几何问题转化成代数问题，蕴含着数学中的转化思想。
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美国著名数学家、数学教学家G.波利亚在《怎样解题》一书中给出了下述解决问题的方法:在面临所要解决的问题时，我们应当考虑如下问题:“这是什么类型的问题?他与某个已知的问题有关吗?它像某个已知的问题吗?具体地说，我们可以从所要追求的具体目标(未知元素、待证命题)出发去进行考虑:“这里所谓的关键事实是什么?有一个具有同样类型的未知量的问题(特别是过去解过的问题)吗?另外，从更一般的角度来说，又可考虑:“你知道一个相关的问题吗?你能设想出一个相关的问题吗?你知道或你能设想出一个同一类型的问题、一个类似的问题、一个更一般的问题、一个更特殊的问题吗?
纳皮尔是近代数学史中善于运用转化思想的杰出代表。对数法是纳皮尔等人在十六世纪为了简化大数字开方运算而创立的。纳皮尔的贡献就在于他看透了指数运算与真数的对应法则(映射与反演的关系)，把后者的运算任务转化为前者的运算任务，从而大大提高了计算效率。他的特点是:把复杂的数字乘、除、乘方、开方等运算问题通过对数转化为简单的加、减、倍积问题，这正体现了转化的思想。尽管上述几部著作都对数学思想方法进行了论述，但是他们的着眼点都是整个数学领域，阐述的是现代数学的共性，很少从中小学数学解题的角度进行梳理和阐释，尤其是用高观点来俯瞰整个初等数学的研究还很少涉及。从目前查到的资料来看，德国的克莱因(Felix. Klein)《高观点下的初等数学》当属于此类。此书分3卷，第一卷是关于算术、代数、分析的论述，第二卷是关于几何的论述，第三卷是关于近似数学与精确数学的论述。在这3卷中，作者都是从非常简单的、基础的数学知识入手，逐渐延伸到非常高深的现代数学内容。在“算术”部分写了四元数，在几何部分写了高维(以至无穷维)空间，并且随时讲到历史和应用。另外，他还充分的应用了数形结合思想，即把数学的两个基本对象—数与形结合起来:讲算术、代数、分析时，总是充分运用丰富的几何图像，而讲几何时，用的是代数工具，又不乏几何语言。数形结合思想体现了数与形的相互转化，属于转化思想的一个类型，此时，已经在初等数学中有意识地渗透了转化思想。而在国内《九章算术》是一部问题集形式的算书，中国传统数学的开山之作，它对后来中国传统数学的发展影响是十分重大的。关于转化思想的起源，《九章算术》是一个值得研究的范例:它采用问题集的形式，书中每道题皆有问、有答、有术，其中“术”就是解题方法，有的一题一术，有的多题一术，第一章名为“方田”，列题38个，立术21条。方田是田亩形状的代称，本章主要是讲平面几何图形面积的计算方法。第五章名曰“商功”，列题28个，立术24条，商功意为关于土方工程问题的思考，本章是讲以立体问题为中心的各种形状体积计算公式。其中很多问题解答都体现了转化的思想方法，如:“割圆术”“出入相补”原理。祖冲之之子祖随早在1500年前发明了祖随原理。所谓祖呕原理其原文是:“幂势既同，则积不容异”。按现在的话来说，即:两同高立体，如在等高处的截面积相等则体积相等教科书
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上常常叙述为:“夹在两个平行平面间的两个立体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果他们的截面面积总相等，那么，这两个立体的体积相等。“祖顺原理并不直接确定几何体的体积，它只揭示满足一定条件的不同几何体体积之间的关系，也就是说，它本质上是一个转化工具而己。 自从上个世纪80年代中期，我国著名数学家徐利治教授率先在大学里讲授“数学方法论”以来，在我国，对数学教学理论作出突出贡献的是数学家、数学教学家徐利治教授，曾经出版过如《数学方法论选讲》 ，《关系映射反演方法》等著作，首次提出了著名的论断“关系映射反演方法”，简称为RMI方法，数学上的RMI方法就是通过“关系一映射(定映)一反演一得解”这样几个基本步骤处理问题的一种方法。运用RMI方法求解问题的具体过程是:第一步，弄清问题中原象关系结构和原象未知目标的具体内容:第二步，选择适当有效地映射，这是应用RMI原则处理数学问题的关键所在;第三步，弄清映象关系结构和映象未知目标的内容;第四步，通过数学手续求出映象未知目标;第五步，根据被确定了的映象目标通过反演而确定原象目标，使问题获解。这一方法是转化思想的一种重要的方法。特别是G·波利亚的《数学的发现》和《怎样解题》两部著作在我国翻译出版以后，我国的大中小学教育界出现了数学思想方法的研究特别是数学解题方法的研究。湖南教育出版社2000年8月出版的《初等数学思想方法选讲》(欧阳维诚、张鑫、肖果能着)首先介绍了转化的方法、作用和途径，然后具体介绍了第一类转化思想，即特殊化思想、一般化思想和变换思想，和第二类转化思想，即映射与数形结合思想，着重阐述它的含义、分类及其作用。大象出版社2000年10月出版的《转化与化归》杨世明着)首先以浅显的语言介绍了数学与转化，进而对化归进行了阐述，最后介绍了转化的技艺，即正难则反、代换、数形结合和见微知着。这些著作的出版弥补了我国关于数学领域数学思想方法研究的空白，为后人研究数学转化思想方法提供了良好的研究范式和研究基础。90年代以后，不仅关于转化思想的论着不断出现，更有大量的探讨转化思想的论文发表，它已经成为小学数学教学研究的热门话题之一，许多一线教师从教学实践经验出发，探讨转化思想的含义、教学和解题运用，取得了一定的成效。关于转化思想的解题运用一般从整体与部分、一般与特殊、数与形、已知与未知、抽象与直观、简单与复杂的转化分类列举题目说明转化思想的具体运用。石开成, 卢伟峰, 毛贻成在文献[3]-[5]中用不同的方式、从不同的方面阐述了数学转化思想的概念、转化模型以及转化思想的分类, 以中学数学典型例题从不同的方面阐述了转化思想方法的应用。陈红姝在文献[2]中探讨了转化思想的涵义及人为价值。以上这些文献对转化思想的概述以及应用方面只是作了简单、零散的介绍，他们所研究的只是转化思想的一个方面且没有深入探讨，有些没有通过实例加以说明。
鉴于转化思想方法在数学学习中的重要地位和作用，常规的数学解题方法计算量比
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较大，就必须对数学转化思想方法进行深入研究，但是在数学领域有关谈论数学转化思想的文献并不是很具体和深入，所以就需要将这些零散的知识归纳起来. 并通过实例加以说明，梳理已有的有关转化思想的研究成果。审读文献，学习与借鉴同类或相关课题的成功经验，并从不同侧面对文献中包含的信息加工整理，进行分析，以创新本课题的研究，深入探讨数学转化思想的具体的应用对培养学生的思维意识具有一定的指导意义。
参考文献：
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北京:外语教学与研究出版社,2009.
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