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∴E，F，G，H四点共面． ∵GF≠EH，故EF与HG必相交． 设EF∩HG＝I.
∵I∈GH，GH?平面CC1D1D， ∴I∈平面CC1D1D. 同理可证I∈平面ABCD.
∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．
18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.
(1)试确定点M的位置，并说明理由； (2)求四棱锥P－ABCD的表面积．
解 (1)点M为PD的中点．理由如下：
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连接BD，设BD∩AC＝O，则点O为BD的中点，连接OM， ∵PB∥平面ACM，∴PB∥OM.
∴OM为△PBD的中位线，故点M为PD的中点． (2)∵PA⊥底面ABCD，又底面是边长为1的正方形， 11
∴S正方形ABCD＝1，S△PAB＝S△PAD＝2×1×1＝2， 1212
S△PBC＝2×1×2＝2，S△PCD＝2×1×2＝2. 故四棱锥P－ABCD的表面积为 122
S＝1＋2×2＋2＋2＝2＋2.
19．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分2
别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝3a，如图．
(1)求证：MN∥面BB1C1C； (2)求MN的长．
解 (1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，
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APANA1M∴AB＝AC＝AB，
1∴MP∥AA1∥BB1， ∴面MPN∥面BB1C1C. MN?面MPN， ∴MN∥面BB1C1C.
2a
NPAN311(2)BC＝AC＝＝，NP＝3a，
2a32
同理MP＝3a. 又MP∥BB1，
∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN. 在Rt△MPN中MN＝
42125a＋a＝993a.
20．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
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(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
解 (1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点， 所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC， 又PQ?平面ACD， 从而PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所CQ⊥AB.
因为DC⊥平面ABC， EB∥DC，
所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝1
2EB＝DC，
12
以