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九年级数学《相似三角形的性质与判定》
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一、相似三角形的判定和性质
1、相似三角形的判定【方法就三种：①两角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例】 三角形相似的基本图形：
（1）平行型：①如图“A型”即公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC ②“X型”，即对顶角对的边平行，则△AOB∽△DOC （2）相交型：①“共角型”，即其公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则有△ABC∽△ADE
②“共角共线型”，即公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边， 则△ABC∽△ACD
③“蝴蝶型”，即对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABC∽△ADE
“共角型” “共角型” “共角共线型” “蝴蝶型” （3）母子型：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ADC∽△CDB∽△ACB 2、：相似三角形的性质【对应角相等，对应边成比例；对应高、对应角平分线、对应中线、对应周长之比等于相似比，面积比等于相似比平方】 二、基础练习：
1.把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边
A和短边之比为 。 D2．已知
xyz??，且3y＝2z＋6，则x＝ 、y＝ 。 356PQC RB3 如图，在平行四边形ABCD中R在BC的延长线上，AR交BD于P，交CD于Q，若DQ∶CQ＝4:3，则AP∶
PR＝
4．在⊿ABC中，AD是∠A的平分线，AB =5cm，BC =7cm，AC =9cm，则BD = 5．顺次连结三角形三边中点构成的三角形与原三角形 。 6．直角三角形中，两直角边在斜边上的射影分别为4cm和9cm，则它的较短的直角边的长是 ；
7 、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，则图中有 对相似三角形，当△ ∽△ 时，则有AF?EF； 要 AC·CE＝CB·CD，则应找哪两个三角形相似？
三、综合练习
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BFAFDEFCDB
8 、如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，EF∥AB，EM∥CD，求EF?EM的值。
ABCDBMC
E
9、在⊿ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证AB?DE?AD?AC
FAD
10 、如图，CD是Rt⊿ABC的斜边AB上的高，BD = 16 cm，AD = 9 cm，CE是∠ACB的平分线，求CE
C的长；
ABDE
A11、如图，⊿ABC是等边三角形，∠DAE = 120?， 求证：（1）⊿ABD∽⊿ECA；（2）BC?DB?CE
12、如图，在⊿ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且CE = CD，求证：AB?AE?AC?AD A E
BC D
13 、如图(1)，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BC＝18，E为OD的中点，连结CE并延长交
FAD于点F，求DF的长。 ADE14、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作 A第 2 页 共 4 页
BO2DBCEFCPEDCB
CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，说明：BP＝PE·PF。
15 、如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于
点F。 (1)说明：△ABC∽△FCD (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长。
16 、如图，在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D， 求BO∶OE的值。 A
E O
BC
FD
2
17 、如图，AE＝AD·AB，且∠ABE＝∠C，试说明△BCE∽△EBD。 A
E D
1 2 B C
18、如图，已知AB?AC?BC，试说明：AB·EC＝AC·BD。
ADAEDE
四、拔高练习
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2
AEFMCBDE A
D
C
B
19、如图，D是△ABC内一点，在△ABC外取一点E，使?ABD??CBE,?BAD??EBC 求证：△ABC∽△DBE
20 、在△ABC中，∠C＝900，BC＝8㎝，AC︰AC＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2㎝/s的
速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1㎝/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发： ⑴ 过多少秒△CPQ∽△CBA？⑵经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似
21、如图，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有 个 AD
P
BC
A D
B E
C
AQBCP第 4 页 共 4 页