loading§6.3 等比数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 考情考向分析 以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn1(a1≠0，q≠0)． －
3．等比中项
Gb
如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，aGG2＝ab，G＝±ab，称G为a，b的等比中项． 4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qnm(n，m∈N*)．
－
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
?1??an?
??仍是等比数(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，?a?，{a2}，{a·b}，nnnb
?n?
?n?
列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
a1?1－qn?a1－anq
当q≠1时，Sn＝＝. 1－q1－q6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 知识拓展
等比数列{an}的单调性
???a1>0，?a1<0，
?(1)满足或?时，{an}是递增数列． ?q>1???0
(2)满足?或?时，{an}是递减数列．
??0
(3)当?时，{an}为常数列．
?q＝1?
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项?G2＝ab.( × )
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) a?1－an?
(5)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × )
1－a
n
(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编
1
2．[P51例3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.
41答案 2
a511
解析 由题意知q3＝＝，∴q＝.
a282
3．[P54A组T8]在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81
解析 设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠
a1－a2
4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
b21
答案 －
2
解析 ∵1，a1，a2,4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
2
又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b2 2＝1×4＝4，且b2＝1×q>0，∴b2＝2，
a1－a2－?a2－a1?1∴＝＝－.
b2b22
S55．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
S2答案 －11
解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
5
S5a1?1－q?1－q∴＝· 2S2
1－qa1?1－q?
1－q51－?－2?5＝＝＝－11. 1－q21－4
6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)． 答案 48
解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，
则2n＝64×210＝216，∴n＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).
题型一 等比数列基本量的运算
1
1．(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
411
A．2 B．1 C. D. 28答案 C
2
解析 由{an}为等比数列，得a3a5＝a4，
又a3a5＝4(a4－1)，所以a24＝4(a4－1)， 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q， 1
则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，
41
所以a2＝a1q＝.故选C.
2
an＋1
2．(2018届河北衡水中学二调)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝
an20，a3a5＝64，则S4等于( ) A．63或120 C．120 答案 C
B．256 D．63
??a3＋a5＝20，
解析 由题意得?
?a3a5＝64，????a3＝16，?a3＝4，
解得?或?
???a5＝4?a5＝16.
?an＋1?a3＝16，又<1，所以数列{an}为递减数列，故? an
??a5＝4.
a51
设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，
a341
因为数列为正项数列，故q＝，从而a1＝64，
2