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中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。 1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法
例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)?f(1)?f?(0)?02f?(?) 试证至少存在一点??(a,b)使得f??(?)?1??分析：把要证的式子中的 ? 换成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0L(1) 由这个式可知要构造的函数中必含有f?(x)，从xf??(x) 找突破口 因为[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式变一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 这时要构造的函数就看出来了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函数法
例 2 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上连续 求证：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边，与g 有关的放另一边，同样把 ? 换成 x 两边积分f?(x)g(x)dx ?g(x) ?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?f(x)
?f(x)e??g(x)dx?C 现在设C?0，于是要构造的函数就很明显了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一阶线性齐次方程解法的变形法
对于所证式为f??pf?0型，（其中p为常数或x 的函数）可引进函数u (x)?e?，则可构造新函数F(x)?f?e?pdxpdx例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)分析：把所证式整理一下可得：f?(?)??0b?a1 ?[f(?)?f(a)]??[f(?)?f(a)]?0，这样就变成了f??pf?0型b?a 求证：存在??(a,b)，使得f?(?)?－dx－ 引进函数u (x)?e?b?a＝eb?a （令C=0），于是就可以设F(x)?eb?a[f(x)?f(a)]f(b)?f(a) 注：此题在证明时会用到f?(c)??0?f(b)?f(a) 这个结论
b?a1xx2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日
例 3 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导bf(b)?af(a) 证明至少存在一点??(a,b)使得?f(?)??f?(?)b?a分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么可以试一下，不妨设 F(x)?xf(x),用拉格朗日定理验证一下bf(b)?af(a) F?(?)?f(?)??f?(?)?b?a②柯西定理
例 4 设0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在(x1,x2)至少存在一点c，使得 1x1e?ex2e1e2?f(c)?f?(c)f(x1)f(x2)e1f(x2)?e2f(x1)ex1x2xxxx分析：先整理一下要证的式子?e 这题就没上面那道那么容易看出来了xx?f(c)?f?(c)
x1?x2 发现e1f(x2)?e2f(x1)是交叉的，变换一下，分子分母同除一下ef(x2)f(x1) ex2?eex11x2e③k值法
?1x1于是这个式子一下变得没有悬念了 用柯西定理设好两个函数就很容易证明了仍是上题分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个方法叫做k 值法 第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边 以此题为例已经是规范的形式了，现在就看常量的这个式子 设
e1f(x2)?e2f(x1)ex1x2xx?e 很容易看出这是一个对称式，也是说互换x1x2还是一样的 记得回带k，用罗尔定理证明即可。?k 整理得e?x1[f(x1)?k]?e?x2[f(x2)?k] 那么进入第二步，设F(x)?e?x[f(x)?k]，验证可知F(x1)?F(x2)④泰勒公式法
老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理
例 5 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)?f(b)?1 试证存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?与?分开，那么就有e?[f(?)?f?(?)]?e? 一下子看不出来什么，那么可以先从左边的式子下手试一下 很容易看出e?[f(?)?f?(?)]?[e?f(?)]?，设F(x)?exf(x)ebf(b)?eaf(a) 利用拉格朗日定理可得F?(?)?再整理一下b?aeb?eaeb?ea e[f(?)?f?(?)]?只要找到与e?的关系就行了b?ab?a?
这个更容易看出来了，令G(x)?ex则再用拉格朗日定理就得到eb?ea G?(?)?e??e?[f(?)?f?(?)]b?a?②柯西定理（与之前所举例类似）
有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。
一、高数解题的四种思维定势
1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
二、线性代数解题的八种思维定势
1、题设条件与代数余子式Aij或A有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA=AA=|A|E 。 2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4、若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。 5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7、若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
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