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二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax的性质
（1）抛物线y?ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax的图像与a的符号关系.
①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax（a?0）. 3.二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h?22222222b4ac?b2?k的形式，其中h??，k?.
2a4a2225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax；②y?ax?k；③y?a?x?h?；④
y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.
26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
b4ac?b2bb?4ac?b2?2（?，） （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直线x??. ??2a4a2a2a?4a? （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴
22是直线x?h.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线
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的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线
222x??bbb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③?0（即2aaaa、b异号）时，对称轴在y轴右侧.
（3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.
当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 当a?0时 开口向上 当a?0时 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) 22b?0. ay?ax2 y?ax?k y?a?x?h? 2x?0（y轴） x?0（y轴） x?h 2y?a?x?h??k 2x?h x??b 2ay?ax?bx?c 2开口向下 b4ac?b2，(?) 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
22 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0, c).
2- 2 -
2 （2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).
2 （3）抛物线与x轴的交点
2 二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?02的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，
则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.
（5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组
22y?kx?ny?ax2?bx?c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组
解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.
0?，B?x2，0?，由于x1、 （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1，2x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?24cb2?4ac??b??4x1x2???????
aaaa??2第二部分 典型习题
１.抛物线y＝x＋2x－2的顶点坐标是 （ D ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0
2
AE
FDC
B第２,３题图 第4题图
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３.二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
４.如图，已知?ABC中，BC=8，BC上的高h?4，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则?DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（ Ｄ ）
24y444O2A4xO2B4O2C4O2D4
EF4?x??EF?8?2x,?y??x2?4x 84５.抛物线y?x?2x?3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ．
21)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2）6.已知二次函数y＝kx＋(2k－，则对于下列结论：①当x＝－21)x?1＝0有两个不相等的实数根x1、x2；x2＞－1；时，y＝1；②当x＞x2时，y＞0；③方程kx＋(2k－④x1＜?1，
221＋4k2⑤x2－x1＝，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．
k7.已知直线y??2x?b?b?0?与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y?x??b?10?x?c.
2（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y??2x?b上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y??2x?b的解析式. 解：（1）y?x?10或y?x?4x?6
22b?10b2?16b?100,?)，由题意得 将（0，b)代入，得c?b.顶点坐标为(24b?10b2?16b?100?2??b??，解得b1??10,b2??6.
24（2）y??2x?2
8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为?2,0,1时, 相应的输出值分别为5,?3,?4． （1）求此二次函数的解析式；
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（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为y?ax2?bx?c,
?a(?2)2?b(?2)?c?5?c??3?a?1????则?a?02?b?0?c??3,即?2a?b?4 ,解得?b??2 ?a?b?c??4?a?b??1?c??3????故所求的解析式为:y?x2?2x?3. （2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值y为正数时， 输入值x的取值范围是x??1或x?3．
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．
解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃
第9题
两昼夜的体温变化情
的体温是上升的?它的
12x?2x?24?10?x?22? 164210.已知抛物线y?ax?(?3a)x?4与x轴交于A、
3⑶y?? B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得 △ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不 存在，请说明理由．
解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．
设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），
2 由ax?(?3a)x?4?0，解得 x1??3，x2??434． 3a- 5 -