loading最新高中数学奥数竞赛函数练习题
（幂函数、指数函数、对数函数）
一、选择题
1．定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则
A．g(x)=x, h(x)=lg(10x+10-x+2)
11[lg(10x+1)+x], h(x)=[lg(10x+1)－x] 2211C．g(x)=x, h(x)= lg(10x+1)－x
2211D．g(x)=－x, h(x)= lg(10x+1)－x
22B．g(x)=
2．若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则
A．x－y≥0 B．x+y≥0 C．x－y≤0 D．x+y≤0 3．已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是 A．7≤f(3)≤26
B．－4≤f(3)≤15
C．－1≤f(3)≤20
1023D．－
3835≤f(3)≤ 334．已知f(n)=logn(n+1) (n?N*且n≥2)，设
q (p,q?N*且(p,q)=1)，则p+q= ?pn?2logf(n)100=
1A．3 B．1023 C．2000 D．2001
5．如果y=log56?log67?log78?log89?log910，则 A．y?(0,1) B．y=1 C．y?(1,2) D．y?[2,3] 6．若实数a, x满足a>x>1，且A=loga(logax)，B=loga2x, C=logax2，则 A．A>C>B B．C>B>A C．B>C>A D．C>A>B 7．设a>0,a≠1，函数f(x)=loga|ax2－x|在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是
1111≤a< D．a>1或 A．a>1 B．a>1或 11≤a< 64C．a>1或 2A．－ 23 24B．－ 5 6C．－ 5 2D．－ 1 2二、填空题 x4?b9．设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数，g(x)=是奇函数，则a+b的值为 。 x2三、解答题 10．已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(－x)，且当x?(-1,0)时，f(x)=2x。 ①证明：f(x+4)=f(x)；②求f(log118)的值。 211．解方程lg(4x+2)=lg2x+lg3。 ?2?x?1 x?0?12．设f(x)=?1，解不等式f(x)>1。 2??x x?013．设f(x)= 12?2x，求f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)。 14．求函数f(x)=3?4x－2x (x≥0)的最小值。 15．设函数f(x)=|lgx|，若0 16．设不等式2(log1x)2+9log1x+9≤0的解集为M，求当x?M时，函数 22xx)(log2)的最大值、最小值。 28ty17．已知实数t满足关系式loga3=logt3 (a>0,a≠1) aaf(x)=(log2 ①令t=ax，求y=f(x)的表达式； ②若x?(0,2)时，ymin=8，求a和x的值。 18．解不等式| 13+2|>。 2log1x219．解不等式log2x?1+ 1log1x3+2>0。 2235, logcd=，若a－c＝9，求b－d。 2420．已知a、b、c、d均为正整数，且logab=21．已知函数 f(x)=ln[3x－ 3(a2?2a?2)x]的定义域为(0,+∞)，求实数a的取值范围。 22．解方程log5(3x+4x)=log4(5x－3x)。 1?2x???(n?1)x?nxa23．设f(x)=lg，其中a是实数，n 是任意给定的自然数，且n≥2。 n如果f(x)当x?(－∞,1)时有意义，求a的取值范围。 24．f是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数，满足条件：对任何x>1,y>1及u>0,v>0,都有f(xu?yv)≤f(x)14u?f(y)14v成立，试确定所有这样的函数f。 函数的最值 一、选择题 1．如果在区间[1,2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+f(x)在该区间上的最大值是 A．4+ 1在同一点取相同的最小值，那么x2132+34 2D．以上答案都不对 1132+34 2B．4－ 532+34 2C．1－ 2．已知x、y都在区间(－2,2)内，且xy=－1，则函数u= 94+的最小值是 224?x9?yD． A． 8 5B． 24 11C． 12 712 53．已知a、b、c?R*，则f(x)=x2?a+(c?x)2?b的最小值是 A．a+c2?b C． B．c2?a+b D．c?(a?b) 222c+a+b 2二、填空题 4．f(x)=|x2－a|在区间[－1,1]上的最大值M(a)的最小值为 。 5．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间[－3,3]上的最小值是 。 6．若不等式|x－4|+|x－2|+|x－1|+|x|≥a对一切实数x成立，则a的最大可能值是 。 三、解答题 x1,2]上，函数f(x)=－x2+px+q与g(x)=2在同一点取得相同的最大值，求2x?11f(x)在区间[,2]上的最小值。 27．在区间[ 8．已知定义在R上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=－ 2。 3xa+2的最小值。 xx?a①求证：f(x)为奇函数；②求证：f(x)在R上是减函数；③求f(x)在[－3,6]上的最值。 9．已知a为正常数，x>0，求函数y=x+ 10．已知f(x)=ax2+bx+c，其中a?N*,b?N,c?Z。 ①若b>2a，且f(sinx) (x?R)的最大值为2，最小值为－4，试求f(x)的最小值； ②若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立，且存在x0，使得f(x0)<2(x02+1)成立，试求c的值。 x4?4x3?17x2?26x?10611．求函数y=的最值，其中|x|≤1。 2x?2x?712．已知f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (t?R是参数)，如果x?[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围。 3x2?2x?n13．已知函数f(x)=log2 (m,n?R)。 2mx?1①若m?N*,x?R且f(x)的最大值为2，最小值为1，求m,n的值； ②若n=－1，且f(x)的值域为R，求m的取值范围。 14．求函数f(x)=x4?3x2?6x?13－x4?x2?1的最大值。 15．设f(x)=－x2+2tx－t, x?[－1,1]，求[f(x)max]min。 16．设f(x)=x2+px+q (p,q?R)。若|f(x)|在[－1,1]上的最大值为M，求M的最小值。 17．设关于x的一元二次方程2x2―tx―2=0的两个根为????????。 ①若x1、x2为区间????]上的两个不同的点，求证：4x1x2－t(x1+x2)－4<0； ②设f(x)= 4x?t，f(x)在区间????]上的最大值和最小值分别为fmin(x)和fmax(x)，g(t)=fmax(x)x2?1－fmin(x)，求g(t)的最小值。 18．设实数x、y满足4x2－5xy+4y2=5，设S=x2+y2，求 1Smin+ 1Smax。 19．若函数f(x)=－ 1213x+在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]。 2220．实数a,b,c和正数?使得f(x)=x3+ax2+bx+c, f(x)=0有三个实数根x1、x2、x3，且满足： 2a3?27c?9ab1①x2-x1=?；②x3>(x1+x2)；求的最大值。 3?2 函数的方程迭代 一、填空题 1．已知f(x)+2f( 1)=3x，则f(x)的解析式为 。 x2．已知f(x)=ax2+bx+c，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= 。 二、解答题 3．设f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。 ①求证：A?B；②如果A={－1,3}，求B。 4．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立： ①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。 若g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值。 5．已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。 ①求f(x)的解析式； ②是否存在实数m，n (m 6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x,y为任意实数；③任意正实数x,y满足x>y时，f(x)>f(y)。试求下列问题： （1）求f(1), f(4)； （2）试判断函数f(x)的单调性； （3）如果f(x)+f(x－3)≤2，试求x的取值范围。 7．已知函数f(x)=6x－6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], …, gn(x)=f[gn-1(x)], …。 ①求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N*, gn(x0)=x0都成立； ②若实数x0，满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。 ③设区间A=(-∞,0)，对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0，且n≥2时，gn(x)<0。试问是否存在区间B (A∩B≠?)，对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)<0？ 8．对于函数y=f(x)，若存在实数x0，满足f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点。已知F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], …, Fn(x)=f[Fn-1(x)] (n∈N*,n≥2)。 ①若f(x)存在不动点，试问F2(x), F3(x), …,Fn(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。 ②设f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)<0 （n∈N*,n≥2）成立的所有正实数x值的集合。 9．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)?f(n)，且当x>0时，0 ①求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1； ②判断f(x)在R上的单调性； ③设集合A={(x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)}，集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R}，若A∩B=?，求a的取值范围。