loading太原理工大学《线性代数》练习册（一）
一. 判断题（正确打√，错误打×）
1. 如果n阶行列式中等于零的元素个数大于n2?n，那么此行列式的值等于零(√ )
解答：因为n阶行列式的元素总数n2?O?O?n2?n?O，所以O?n，而n阶行列式的每一项是n个元素的乘积，所以每一项至少含有一个零因子，所以此行列式的值等于零。
2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij等于零.( √ )
a11 解答：将
a12a22??a1n?a2n3、?、n列都加到第一列，则行 列式中有中的2、??a21?an1an2?ann一列元素全为零，所以aij等于零.
a10a2b300b2a30b10a?10b4a4b1a2a4b3b2.( √ ) a300b43.
解答：方法1按第一列展开
a100
b40a2b300b2a30b1a20?a1a4b30a4b2a2?b1b4a3b3a1b4b2a3b1a2a4b3b2a3.
?(a1a4?b1b4)b1a1?a4b4方法2 交换2，4列，再交换2，4行
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太原理工大学《线性代数》练习册（一）
a10
0b40a2b300b2a30b1a100??00a4b4b100a40b2a300a1a2b4?b3000b1a40000a3b200a1=b3b4a2b1a2a4b3b2a3.
方法3 Laplace展开定理：设在n行列式D中任意取定了k(1?k?n?1)个行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式
D。
所以按2，3行展开
a10
0b40a2b300b2a30b1a10?(?1)2?3?2?3b40a4b1a2a4b3b2a3a1b4b1a2a4b3b2a3=.
4. 若n阶行列式aij满足aij?Aij,i，j?1,2,?，n,则aij?0.(√) 解答：由行列式展开定理
a11a21
?an1a12a22??a1n?a2n
??an2?ann ?a11A11?a12A12???a1nA1n
222 ?a11?a12???a1n?0.
5. 若n阶行列式aij的展开式中每一项都不为零,则aij?0.( × ) 解答：反例如二. 单项选择题
111?21. 方程
141?8112x?0的根为（B）. 24x8x312?0. 24（A）1,2,3； （B）1,2,?2； （C）0,1,2； （D）1,?1,2.
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解答：（范德蒙行列式）
111?2
141?812481x?(?2?1)(2?1)(2?2)(x?1)(x?2)(x?2)?0， x2x3所以根为1,2,?2.
a11a31a12a32a13a33a31a11a32a12a33a132.已知a21a22a23?a,那么2a21?3a312a22?3a322a23?3a33（D）. （A）a； （B）?a； (C)2a； （D）?2a.
a31a11a31a11a31a11a32a12a33a13a32a12a32a12a31a11a32a12a33a13a33a13a33a13a31a11a32a12a33a13解答：2a21?3a312a22?3a322a23?3a33
?2a21a22a23?3a31a32a33??2a?0??2a
或者2a21?3a312a22?3a322a23?3a33?2a21a22a23??2a
（C）
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??x?y?z?1?解答：因为?x??y?z??有唯一解， 所以
?x?y??z??2??11??2111111?1???2?1?(??2)1?111???21?11?111?(??2)0??11?(??2)(??1)200??1?x?y?z?1?当??1时，?x?y?z?1，有解，但不唯一；
?x?y?z?1???2x?y?z?1?当???2时，?x?2y?z??2 推出0?3，无解。
?x?y?2z?4?，
所以选（C）
4.下列行列式中不一定等于?1?2??n的是（B）.
?1a12?a1n0?2?a2n?0??00???0???an20?1（A）； （B）
0??2a2n；
???ann?n0?n0?1??10?000?00???n?10（C）
a21?an1?2?an20?0； （D）???0??n??2???0000.
?n解答： 注意
00
????an20?1?2n(n?1)a2n=(?1)2?1?2??n；
???n
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