loading贾老师数学·教学学生学习方法·快速提高学生学习成绩
二次函数图像及性质
1．二次函数的定义
（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做__________．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．
（2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式． （3）二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
2．二次函数y=ax2的图象和性质
函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 __________ （0，0） __________ x>0时，y随x的增大而增大； 向下 __________ y轴 x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大 当x=0时，y最大值=0 增减性 x<0时，y随x的增大而减小 最大（小）值 当x=0时，y最小值=0 对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
3．二次函数y=ax2+k的图象和性质
函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性
y=ax2+k（a>0） 向上 __________ y轴 x>0时，y随x的增大而增大； y=ax2+k（a<0） __________ （0，k） __________ x>0时，y随x的增大而________； 贾老师数学·教学学生学习方法·快速提高学生学习成绩
x<0时，y随x的增大而_________ x<0时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x=0时，y最小值= k 当x=0时，y最大值= k 4．二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=a（x-h）2（a>0） 向上 __________ x=h x> h时，y随x的增大而增大； 增减性 x
函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=a（x-h）2+k（a>0） 向上 （h，k） x=h x> h时，y随x的增大而增大； 增减性 x
函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 y=ax2+bx+c（a>0） 向上 y=ax2+bx+c（a<0） 向下 增减性 最大（小）值 bb4ac?b2（?，__________） （?，） 2a2a4abx=__________ x=? 2abbx>?y随x的增大而增大； x>?y随x的增大而减小； 时，时，2a2abbx
贾老师数学·教学学生学习方法·快速提高学生学习成绩
7．二次函数的平移问题
解析式 分情况讨论 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0） m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0 由y=ax2向左平移由y=ax2向左平移由y=ax2向右平移由y=ax2向右平移变换过程 |m|个单位，向上平|m|个单位，向下平|m|个单位，向上平|m|个单位，向下平移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位 一、二次函数的定义
函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意． 【例1】如果函数y?(k?3)xkA．0
2?3k?2?kx?1是二次函数，那么k的值一定是
C．0或3
D．1或2
B．3
二、二次函数的图象与性质
二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．
【例2】二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是 A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点（2，3） D．抛物线与x轴有两个交点
C．当x>0时，y随x的增大而减小
【例3】二次函数y=（x+2）2-1的图象大致为
A． B． C． D．
贾老师数学·教学学生学习方法·快速提高学生学习成绩
【例4】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是 A．直线x=1
【例5】已知二次函数y=a（x-1）2+3，当x<1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 A．a≥0
【例6】若点A（2，y1），B（-3，y2），C（-1，y3）三点在抛物线y?x?4x?m的图象上，则y1、
2 B．直线x=-1 C．直线x=2 D．直线x=-2
B．a≤0 C．a>0 D．a<0
y2、y3的大小关系是
A．y1?y2?y3
B．y2>y1>y3
C．y2?y3?y1
D．y3?y1?y2
三、二次函数的解析式
用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：
（1）设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出．
（2）设顶点式：y=a（x-h）2+k，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y=a（x-h）2+k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． （3）设交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0)，设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2），将第三个点的坐标（m，n)（其中m，n为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式．
【例7】若抛物线经过点（3，0）和（2，-3），且以直线x=1为对称轴，则该抛物线的解析式为 A．y=-x2-2x-3 C．y=x2-2x-3
B．y=x2-2x+3 D．y=-x2+2x-3
贾老师数学·教学学生学习方法·快速提高学生学习成绩
【例8】已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1；当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0．求这个二次函数的解析式．
四、二次函数的平移问题
（1）抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关． （2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式．
（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2+k的顶点是（0，k），y=a（x-h）
2
的顶点是（h，0），y=a（x-h）2+k的顶点是（h，k）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松
地看出平移的方向．
（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
【例9】把抛物线y=-x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A．y=-（x-1）2-3 C．y=-（x-1）2+3
B．y=-（x+1）2-3 D．y=-（x+1）2+3
基础练习题
1．下列函数中是二次函数的为 A．y=3x-1
B．y=3x2-1
C．y=（x+1）2-x2
D．y=x3+2x-3
2．抛物线y=2x2+1的的对称轴是 A．直线x=
1 4
B．直线x=?1 4C．x轴 D．y轴
3．抛物线y=-（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是 A．（4，-5），开口向上
B．（4，-5），开口向下 D．（-4，-5），开口向下
C．（-4，-5），开口向上 4．抛物线y=-x2不具有的性质是 A．对称轴是y轴
B．开口向下