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五年级期末补充复习题汇编（一） 参考答案
1．答案：82.
解析：最大的约数一定是它本身，所以最大的约数一定是第二大约数的整数倍。 因为123?3?41，所以这个自然数一定是41?2?82。
2．解析：由题意可知，12?2?3，所以a、b中含有约数2和3，
又因为8?2?4，所以a?3?2?24； 同理，因为9?3?3，所以b?3?2?36。
3．答案：最小自然数应为144，所有约数之和为403
24解析：因为15=1+14或15=（1+2）×（1+4），故所求自然数具有N1=a或N2=a1a2的形式（a1，a2为
1422322质数）
为使N最小，取a=2，则N1=2=16384；取a1=2，a2=3，得N2=2×3=324；取a1=3，a2=2得
1424N2=32×24=144.比较后我们知道这个最小的自然数应为144，他的所有约数之和为
(1?2?22?23?24)?(1?3?32)?403
4．答案：961.
解析：一个数的约数都是成对出现的，但完全平方数最中间会有一对相同的约数，只算1个，所以完全平
方数的约数个数为奇数。“一个自然数的约数的个数是奇数”，说明它是一个完全平方数，1000以内最大的完全平方数是961。故1000以内最大的“希望数”是961。
5．答案：96.
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解析：设这个数为A，有A=2×3×5×7，99=3×3×11，98=2×7×7，97均不是A的约数, 而96=2×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
6．答案：20.
解析：任何一个数的最小约数都是1，这些和中最小的3，应该是最小的两个约数的和。由此可见，另外
一个小约数是2。
30应该是两个最大约数的和。由于约数中有2，最大的两个约数必定是最大的约数和它的一半。如：12的最大的两个约数是12和6、14的两个最大约数是14和7。15则不然。
设这个数是x，那么它的两个最大约数就是x和
x，这样就得到方程: 2x?x?30，得到x?20. 2所以这个数是20。
7．答案：甲是300，乙是120。
解：60?2?3?5，18?2?3?3??1?1??2?1??2?1?，16?4?2?2??3?1??1?1??1?1?
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则甲：2?3?5?180或2?3?5?300 乙：2?3?5?120
8．答案：30.
解析：因为个位是0，所以含有质因数2和5 （1）8?2?4，所以最小为2?5?40 （2）8?2?2?2，最小为2?3?5?30 所以最小数是30。
9． 答案：5个或者9个。
解析：a有3个约数，则a是一个平方数。
4 ①当a?4时，4a?4?4?2有5个约数
332222（2?1）?（2?1）?9个。 ②当a?4时，4a的约数有
10．答案：663936或者1455552.
解析：AAAAAA?A?111111?A?3?7?11?13?37
其约数有48个，即(2?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)?48 A为质数，则只能是A?3或A?7； 若A?3，所有约数和为
(1?3?32)?(1?7)?(1?11)?(1?13)?(1?37)?663936 若A?7，所有约数和为
(1?3)?(1?7?72)?(1?11)?(1?13)?(1?37)?1455552
11． 答案：48.
解析：根据某自然数是3和4的倍数可得：这个自然数的质因数中至少含有一个3，两个2， 10?2?5，所以这个数可以写成a?b，而这个数中至少有两个2，所以只能a?3,b?2 这个数为3?2?48。
12． 答案：101.
解析：设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．
将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时
441?2?35 时满A?101a,B?101b,C?101c,D?101d，有a?b?c?d?11，当a?b?c?d??足,即这4个数的公约数可以取到101．
综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．
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13． 答案：16个。
解析：设自然数N可分解为N?a11?a22??ann N3bbb?a13b1?a23b2????an3bn
N的约数有(3b1 +1)×(3b2+1) ×??×(3bn+1)=100=2×2×5×5 左边每项因子不小于4且除以3余数是1,所以有效的拆分仅有以下3个： 4×25（n=2, b1=1, b2=8） 10×10(n=2, b1=3, b2=3) 100(n=1, b1=33)
对应3种拆分N的约数分别有：2×9=18， 4×4=16， 34 所以N最少有16个约数。
14． 答案：101.
解析：abcabc?abc?7?11?13
所以全部约数和为：(abc?1)?8?12?14?1344?(abc?1)?137088 解得abc?101。
15．答案：64或者48.
解析：当A?3且A?7时，AAAAAA＝A?3?7?11?13?37， T(AAAAAA)＝(1?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)?64 ；
当A＝3时，AAAAAA?3?7?11?13?37， T(AAAAAA)?(2?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)＝48；
当A＝7时，AAAAAA?3?7?11?13?37，T(AAAAAA)?(1?1)?(2?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)＝48。
16．答案：这个数是1001。
解析：8?1?7;所以这两个约数分别是1和7，则最大的两个约数也应该是7倍关系， 设第二大约数是x，则最大的约数是7x，由题意得， x?7x?1144 解得x?143； 则7x?1001
17．答案：最小自然数应为144，所有约数之和为403
解析：因为15=1+14或15=（1+2）×（1+4），故所求自然数具有N1=a或N2=a1a2的形式（a1，a2为
质数）
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1424 为使N最小，取a?2，则N1=2=16384；取a1=2，a2=3，得N2=2×3=324；取a1=3，a2=2
得N2=3×2=144.比较后我们知道这个最小的自然数应为144，它的所有约数之和为（1+3+3）×（1+2+2+2+2）=403。
18．解析：含有6个约数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不
同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个约数的数，用a和b表示M的质因数，那么 M?a或M?a?b
因为M是两位数，所以M= a只有一种可能M=2，而M= a?b就有以下15种情况：
5
5
2
24223452M?22?3,M?22?5,M?22?7， M?22?11,M?22?13,M?22?17，
M?22?19,M?22?23,M?32?2， M?32?5,M?32?7,M?32?11，
M?52?2,M?52?3,M?72?2.
所以,含有6个约数的两位数共有 15+1=16(个)。
19．解析：设a的标准分解式为：a?p11?p22???pkk
nnnT(a)?(n1?1)?(n2?1)???(nk?1)为奇数，则n1,n2,?,nk为偶数，
所以有奇数个约数的数必是完全平方数。 反过来，平方数有奇数个约数。因为设a?p12m1?p22m2???pk2mk，那么
T(a)?(2m1?1)?(2m2?1)???(2mk?1)为奇数。
故问题转化为写出360到630的中完全平方数。
所以有奇数个约数的数为：361，400，441，484，529，576，625。
20．答案：1509.
解析：约数两两求和，最小是4，这两个约数只能是1和3；
每个数的约数都是成对出现的。因为这个数包含约数3，所以这个数最大的约数是它本身，此外最大
的约数是它的
11。假设这个数为a，则这个数的约数两两求和，最大的和就是a?a，由题意可得： 331a?a?2012，a?1509。
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21． 答案：400，500或者2500,200.
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