loading2019年编·人教版高中数学
高中数学 第二章 随机变量及其分布本章小结
新人教A版选修2-3
知识点一 条件概率
条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P(B|A)＝＝
P（AB）
；(2)P(B|A)
P（A）
n（AB）
.在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件An（A）
例1 有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件，求： (1)第一次抽到次品的概率；
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率． 解析：设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B. 51(1)第一次抽到次品的概率P(A)＝＝. 2041
(2)P(AB)＝P(A)P(B)＝.
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(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝÷＝. 19419知识点二 求相互独立事件的概率
1．相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清
发生的基本事件个数．
事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．
2．特别注意以下两公式的使用前提：
(1)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立． (2)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．
设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别为0.2、0.6、0.3，试求： (1)在三次射击中恰有一次命中的概率； (2)在三次射击中至少有一次命中的概率．
解析：设“第i次射击命中目标”为事件Ai(i＝1，2，3)，由题意A1、A2、A3相互独立． (1)恰有一次命中的概率为P＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.2×(1－0.6)×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.6×(1－0.3)＋(1－0.2)×(1－0.6)×0.3＝0.488.
(2)至少有一次命中的概率为
P＝1－P(A1 A2 A3)＝1－(1－0.2)×(1－0.6)×(1－0.3)＝0.776.
知识点三 离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题数学化，
然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质，如E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝aD(X)．
甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ、η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中的10，9，8，7环的概率分别为0.5、3a、
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a、0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ、η的分布列；
(2)求ξ、η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
解析：(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1解得a＝0.1. 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ、η的分布列分别为： ξ 10 0.5 10 0.3 9 0.3 9 0.3 8 0.1 8 0.2 7 0.1 7 0.2 P
η P (2)由(1)可得
E(ξE(ηD(ξD(η
)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； )＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)；
)＝(10－9.2)×0.5＋(9－9.2)×0.3＋(8－9.2)×0.1＋(7－9.2)×0.1＝0.96； )＝(10－8.7)×0.3＋(9－8.7)×0.3＋(8－8.7)×0.2＋(7－8.7)×0.2＝1.21.
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由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；
又因为D(ξ) 对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率． 某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如下图所示，成绩X位于区间(52，68]的概率为多少？ 解析：设成绩X～N(μ，σ)， 则正态分布的密度函数φ μ，σ2 (x)＝ 12πσ e， 由图可知，μ＝60，σ＝8.∴P(52 一、选择题 1．(2013·广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为： X P 则X的数学期望E(X)＝(A) 1 3 52 3 103 1 10 35 A. B．2 C. D．3 22 331153 解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝，故选A. 51010102 2．(2013·景德镇高二期末)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下： X P 则随机变量X的方差D(X)等于(B) 1212A. B. C. D. 9933 0 1 2m m 2?21?2?221122?解析：由m＋2m＝1得，m＝，∴E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝0－×＋1－×＝ 3333?3?3?3?32 ，故选B. 9 1 3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是?10，?，则该随机变量的 2??方差等于(C) 2 A．10 B．100 C. D. π 2 π 11122 解析：由正态分布密度曲线上的最高点?10，?知＝，∴D(X)＝σ＝. 2?π?2π·σ24．(2014·兰州一诊)随机变量X的分布列为： X P 则E(5X＋4)等于(A) 1 0.4 2 0.3 4 0.3 A．15 B．11 C．2.2 D．2.3 解析：∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 能力提升 111 5．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人234同时射击目标，则目标被击中的概率是(A) 3247 A. B. C. D. 43510 6．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，5)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(C) A．(90，100] B．(95，125] C．(100，120] D．(105，115] 解析：因为X～N(110，5)，所以μ＝110，σ＝5. 2 2 57 ＝0.95≈P(μ－2σ P(100 7．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X，则P(X≤2)＝(D) 15 A．C×??×?? ?6??6? 210 28 1?5?9?5?10 B．C××＋ 6?6??6? 110 2 1?5?91?5?82 C．C××＋C10×× 6?6?6?6? 110 D．以上都不对 1511?5?2 解析：P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝C×??×??＋C1＋C10×??10××6?6??6??6??6? 0 10 01092 5 ×??.故选D. ?6? 8．(2014·成都调研)已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b， 2 8 c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X为“|a－b|的取值”，则X的数学期望E(X)为(A) 8321A. B. C. D. 9553 解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2C3C3C7＝126(条)，X的可能取值有0，1，2.P(X＝0)＝8 ＝. 9 9．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________． 1150 解析：这是100次独立重复试验，X～B?100，?，∴E(X)＝100×＝. 6?63?答案： 50 3 6×718×744×72142 ＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×126312691269399 1 11 10．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 0.1 9 0.3 10 P x y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________． 解析：由分布列可得x＝0.6－y且7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，解得y＝0.4. 答案：0.4 11．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝____________． 14P（AB）1 解析：根据几何概型，得P(AB)＝，P(B)＝，所以P(A|B)＝＝. 99P（B）41 答案： 4 1 12．(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ) 5＝________． 解析：设P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y， 4x＝，??x＋y＝5，?5 则??? 1??x＋2y＝1?y＝5， 1312222 所以D(ξ)＝(0－1)×＋(1－1)×＋(2－1)×＝. 55552 答案： 5 13．(2013·广东珠海高二下学期期末)在一次购物抽奖活动中，假设某6张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券1张，每张可获价值20元的奖品；其余4张没有奖．某顾客从此6张中任抽1张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客参加此活动可能获得的奖品价值的期望值． 211解析：(1)P＝＝，即该顾客中奖的概率为. 633(2)X的所有可能值为：0，20，50(元)， C442C11C11 且P(X＝0)＝1＝＝，P(X＝20)＝1＝，P(X＝50)＝1＝， C663C66C66故X的分布列为： 1 1 1 3 X P 23 16 16 0 2 320 1 650 1 6E(X)＝0×＋20×＋50×＝＝. 所以该顾客参加此活动可能获得奖品价值的期望值是 35 元． 3 703563 14．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 解析：设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB. (1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝A5＝20. 又μ(A)＝A3×A4＝12. 于是P(A)＝ μ（A）123 ＝＝. μ（Ω）205 2 1 1 2 (2)因为μ(AB)＝A3＝6， μ（AB）63 所以P(AB)＝＝＝. μ（Ω）2010