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二次函数典型中考试题解析及训练
[解读中考要点]1、二次函数一般地，形如
y?ax2?bx?c（a,b,c是常数，a?0）的函数叫做x的二次函数。
?0，b,c是任意的实数即可。
解读：在函数中注意二次项系数a2、二次函数
y?ax2（a?0）的性质
y?ax2的图象是抛物线，它的顶点是原点，对称轴是y轴。
解读：（1）二次函数（2）当a22抛物线y?ax的开口向上，并且向上无限延伸，顶点是它的最低点；当a?0时，抛物线y?ax?0时，
的开口向下，并且向下无限延伸，顶点是它的最高点。3、二次函数
y?ax2?k（a?0）的图象与性质
y?ax2?k的图象与y?ax2的图象的形状完全一样，可以通过平移二次函数y?ax2的图
个单位长度；当k解读：（1）二次函数象得到
y?ax2?k的图象。当k?0时，向上平移k?0时，向下平移k个单位长度。
（2）当a?0时，抛物线的开口向上；当a?0时，抛物线的开口向下。
（3）抛物线的顶点是
?0,k?，对称轴是y轴。
24、二次函数
y?a?x?h??k（a?0）的图象与性质
2可以通过二次函数y?ax的图象得到y?a?x?h??ky?ax2的图象的形状完全一样，
2解读：（1）它的图象与的图象。（2）当a?0时，抛物线的开口向上；当a?0时，抛物线的开口向下。
（3）抛物线的顶点是
?h,k?，对称轴是y轴。
5、关于二次函数
y?ax2?bx?c（a?0）的图象
y?ax2?bx?c（a?0）的图象是与y?ax2的图象的形状完全一样的一条抛物线。
?b4ac?b2?，顶点是??,?。
4a??2a4ac?b2时，函数有最小值
4a；当x解读：（1）二次函数
b（2）抛物线y?ax?bx?c（a?0）的对称轴是直线x??2a2b（3）当a?0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。当x??2a时，
??b2ay的值随x值的增大而减小；当x??b2a时，
y的值随x值的增大而增大。
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b（4）当a?0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点。当x??2a时，
4ac?b2时，函数有最大值
4a；当x??b2ay的值随x值的增大而增大；当x??b2a时，
y的值随x值的增大而减小。
6、二次函数与一元二次方程二次函数二次函数
y?ax2?bx?c（a?0）的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当y?ax2?bx?c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y?0时自变量x的值，即一元二次方程
ax2?bx?c?0的根。
解读：（1）当b2?4ac?0时，二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴有两个交点，此时一元二次方程
ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根；
（2）当
b2?4ac?0时，二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴有一个交点，此时一元二次方程
ax2?bx?c?0有两个相等的实数根；
（3）当b222?4ac?0时，二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴没有交点，此时一元二次方程ax?bx?c?0没有实数根。
7、二次函数解析式的确定
解读：运用待定系数法确定二次函数
y?ax2?bx?c的系数a,b,c，一般需要三个条件，组成关于a,b,c的三元
方程组，解方程组可以确定a,b,c的值，从而确定解析式。[剖析经典考题]
近年来，全国各省市的中考题中，考查二次函数及其相关内容所占的比例比较大，考题既有基本题，又有综合题。基本题常以填空、选择的形式出现，考查二次函数的意义、性质等知识点；综合题常与方程、一次函数、反比例函数、圆等知识综合在一起，有些综合题也会考查学生利用二次函数的知识解决实际问题的能力。
例1（、2005·资
阳）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图5.3-1所示，给出以
下结论：① 号是
a+b+c<0；② a-b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0 . 其中所有正确结论的序
A. ③④
B. ②③
C. ①④
D. ①②③
分析：从所给的图象，我们可以获取以下信息：（1）抛物线的开口点在第一象限，对称轴在直线x=1的左侧；（3）抛物线与y轴的交（4）横坐标为1的点在x轴上方；横坐标为-1的点在x轴下方。由做出判断。
解：∵抛物线开口向下，∴a<0.
图5.3-1
向下；（2）顶点在正半轴上；以上信息可以
b?0,?b?0。2ab?1,?a?0,??b?2a,?2a?b?0.故③正确。∵对称轴在直线x=1的左侧∴?2a∵顶点在第一象限，∴?∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，∴c>0。
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∴abc<0.故④错误。
∵横坐标为1的点在x轴上方，∴a+b+c>0.故①错误。∵横坐标为-1的点在x轴下方，∴a-b+c<0，故②正确。所以应选B。
点拨：要充分利用函数的图象，数形结合，弄清图象中所给的信息是解题关键。例2、（2005贵阳）已知二次函数如图5.3-2所示，它与
y?x2?4x?3的图象
y轴相交于点C，点D在二次函数图
象上与点C对称，一次函数的图象过点A、D； （1）求点D的坐标； （2）求一次函数的解析式；
分析：这是一道二次函数与一次函数的综合题目。对于（1）问，由点D在二次函数图象上与点C对称，易知点D的纵坐标为3；把y=3代入解析式
y?x2?4x?3可求得x的值，
从而可以确定点D的坐标。对于（2）问，知道了点A、D的坐标，利用待定系数法可以求得一次函数解析式。解：
（1）∵D在二次函数称，则D（4，3）。（2）设直线
y?x2?4x?3的图象上且与点C对
y?kx?b过点A（1，0）和D（4，3）
∴??k?b?0 ，解得：k?1,b??14k?b?3?y?x?1。
∴所求一次函数为
点拨：确定函数解析式的关键是先要确定函数图象上的点的坐标。例3（、2005泉州）有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为立直角坐标系（如图5.3-3所示）.⑴请你直接写出O、A、M三点的坐标；
⑵一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米身底板与水面同一平面）？
分析：本题是通过实例确定二次函数解析式并利用解析式解
决问题
yM原点建
OCBD图5.3-3Ax板，要（设船
的一道简单的应用题。对于（1）根据题意可直接表示出；对于（2），关键是要读懂题意，必须先由三点的坐标确定出函数的解析式，当CD表示宽，CD=2，B是CD的中点，此时OC=2。利用解析式求出x解：（1）O（0，0），A（6，0），M（3，3）
?2时对应的函数值即可解决。
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