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椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明 （一）椭圆中，PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 证明：延长F2H至M，交PF1于M ∵PT平分∠MPF2 ，又F2H⊥PT，∴|PM|=|PF2| 又|PF1|+|PF2|=2a， ∴|PM|+|PF1|=2a=|F1M|=2|OH|?|OH|=a. ∴H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点. （二）椭圆中，椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明：如图，设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1， 圆心为O1， 由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=|AB|?|MF1|=|AB|?|MF2| ∴|OO1|=11|MF1|=(|AB|?|MF2|)=a?r1 22 ∴⊙O、⊙O1相内切 （三）设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 证明：设旁切圆切x轴于A'，切PF2于M，F1P于N， 则|PN|=|PM| ，|MF2|=|MA'|， |F1N|=|F1A'|， ∴|PF1|+|PM|=|F1F2|+|MF2| |PF1|+|PF2|?|F2A'|=|F1F2|+|F2A'| ?2a=2c+2|F2A'|?|F2A'|=a?c=|F2A2|∴A'与A2重合. x2y2（四）椭圆2+2=1（a＞b＞o）的两个顶点为abA1(?a,0),A2(a,0)， 与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时， x2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2=1. ab证明：设交点S(x0,y0)，P2(m,?n) 1(m,n)，P∵KP1A1=KA1S KP2A2=KP2S， ∴
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y0?n=?m+ax+a2y0y0y0n?nn2?0??=??2=2 ?22ym+am?ax+ax?aa?mx?a?n0000?=?m?ax0?a?m2n2n2m2n2b2= 又2+2=1?2=1?2?2 abbaa?m2a2222x0y0y0x2y2b2 ∴22=2?2?2=1，即轨迹方程为2?2=1 ababx0?aax2y2（五）若P0(x0,y0)在椭圆2+2=1上，则过P0的椭圆的切线方abxxyy程是02+02=1. abx0b22x2y?y'证明：对x求导可得：2+2=0 ∴y'=， aby0a2 ∴切线方程为 x0b22222y?y0=?(x?x0)即y0ya2?y0a=?xx0b2+x0b， 2y0a2222即y0ya2+xx0b2=x0b+y0a=a2b2， ∴xx0yy0+2=1 a2bx2y2（六）若P0(x0,y0)在椭圆2+2=1外 ，则过P0作椭圆的ab 两条切线，切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xy0y+2=1. a2b证明：设P2(x2,y2)，则过点P1(x1,y1)，P1、P2切线分别为l1:x1xy1yxxyy+2=1,l2:22+22=1 2ababx1x0y1y0x2x0y2y0，+=1+2=1 a2b2a2b∵P0在l1、l2上 ∴∴过P1，P2方程x0xyy0+2=1 a2bx2y2（七）AB是椭圆2+2=1的不平行于对称轴且不过原点的弦，abb2M为AB的中点，则kOM?kAB=?2. a 证明：设A(xA,yA),B(xB,yB) 则M( xA+xByA+yB,) 22学 海 无 涯
KOM?KAByA+yByA?yByA2?yB2=?=xA+xBxA?xBxA2?xB2① xA2yA2xB2yB2xA2?xB2yA2?yB2=?又2+2=1=2+2? ababa2b2 ∴kOM?kABb2=?2 ax2y2（八）若P0(x0,y0)在椭圆2+2=1内，则被P0所平分的中点弦abx0xy0yx02y02的方程是2+2=2+2. abab 证法1：由上题的结论得：b2x0b2b2y0kAB?kOP=?2?kAB=?2?=?2， aax0ay0022b2x0yy0xx0y0x0∴弦AB方程为y?y0=?(x?x0)?2+2=2+2 y0a2babax2y2若P0(x0,y0)在椭圆2+2=1内，则过P0的弦中点的轨迹方abx2y2x0xy0y程是2+2=2+2. abab证法2：设弦交椭圆于P2(x2,y2)中点S(m,n). 1(x1,y1)，P 22n?y0x12y12x2y2(x1+x2)b2mb2 +=1=+?k=?=?=k=PPPSm?x0a2b2a2b2(y1+y2)a2na2120 m2n2x0my0n∴?mb+mx0b=na?ny0a?2+2=2+2 abab222222x2y2x0xy0y 即2+2=2+2. abab x2y2（九）过椭圆2+2=1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意ab 作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向b2x0且kBC=2（常数）. ay0(x2,y2). 证明：设两直线与椭圆交于点(x1,y1) 2222x0y0x12y12x2y2+=+=+=1 a2b2a2b2a2b2
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?y1?y0x1+x0k==?AB?x1?x0y1+y0?????k=?y2?y0=+x2+x0?ACx2?x0y2+y0?b2?2 ①ab2?2 ②a 由题意得①＝② y1?y0x2+x0b2y2?y0x1+x0b2 ∴=?，=? x1?x0y2+y0a2x2?x0y1+y0a222?(y1y2?y0y2+y0y1?y0)a2=(x1x2?x2x0+x1x0?x0)b2 ③?展开? 2222(yy?yy+yy?y)a=(xx?xx+xx?x)b ④?010201210200?12 2a2y0(y1?y2)=2b2x0(x1?x2) y1?y2b2x0③－④得：==KBC（定值） x1?x2a2y0x2y2（十）椭圆2+2=1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，ab点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点?F1PF2=?，则椭圆的焦 ?2b2点三角形的面积为|PF1||PF2|=；S?F1PF2=b2tan。 21+cos?证明：设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a. 由余弦定理 m2+n2?2mn?cos?=4c2=4a2?4b2=(m+n)2?4b2， 2b2. 2b=(1+cos?)mn?|PF1||PF2|=1+cos?2S△F1PF2112b2?=m?n?sin?=??sin?=b2tan=c?|yP| 221+cos?2x2y2（十一） 若P为椭圆2+2=1(a?b?0)上异于长轴端点的ab任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2=?, ?PF2F1=?， 则tan?2tan?2=a?c. a+c证明：设|PF1|=m ，|PF2|=n，m+n=2a，m+n2aa== ① |F1F2|2cc?+???????2sincoscosm+nsin?+sin?22=2 又==?+??+??+?|F1F2|sin(?+?)2sincoscos222