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专题对点练13 等差、等比数列与数列的通项及求和
专题对点练第17页 1.Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=解 (1)由2(an+1+an)=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.两式相减可得+2(an+1-an)=4an+1,即
=(an+1+an)(an+1-an).由于an>0,因此an+1-an=2.
又+2a1=4a1+3,解得a1=3(a1=-1舍去).
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,故an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知bn=.
Tn=b1+b2+…+bn=+…+.
2.已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,若a1=9,S3=21. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a5,a8,Sk成等比数列,求k的值.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,∵a1=9,S3=21,
∴S3=3×9+d=21,解得d=-2,
∴an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.
(2)∵a5,a8,Sk成等比数列,∴=a5·Sk,即(-2×8+11)2=(-2×5+11)·,解得k=5.
3.(2017河北衡水中学三调,理17)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都
成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列的前n项和最大?
解 (1)令n=1,得λ=2S1=2a1,即a1(λa1-2)=0.
因为a1≠0,所以a1=.
当n≥2时,2an=+Sn,2an-1=+Sn-1, 两式相减,得2an-2an-1=an(n≥2),
所以an=2an-1(n≥2),从而数列{an}为等比数列,
所以an=a1·2n-1=.
(2)当a1>0,λ=100时,由(1)知,an=,
设bn=lg=lg=lg 100-lg 2n=2-nlg 2,
所以数列{bn}是单调递减的等差数列,公差为-lg 2,
所以b1>b2>…>b6=lg=lg>lg 1=0,
当n≥7时,bn≤b7=lg 所以数列的前6项和最大. 4.(2017河北邯郸二模,理17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,a3=3,且λSn=anan+1.在等比数列{bn}中,b1=2 λ,b3=a15+1. (1)求数列{an}及{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}的前n项和为Tn,且cn=1,求Tn. 解 (1)∵λSn=anan+1,a3=3,∴λa1=a1a2,且λ(a1+a2)=a2a3, ∴a2=λ,a1+a2=a3=3.① ∵数列{an}是等差数列,∴a1+a3=2a2,即2a2-a1=3.② 由①②得a1=1,a2=2,∴an=n,λ=2,∴b1=4,b3=16, ∴{bn}的公比q=±=±2, ∴bn=2n+1或bn=(-2)n+1. (2)由(1)知Sn=,∴cn=, ∴Tn=1-+…+=1+. 5.(2017宁夏中卫二模,理17)已知等比数列{an}的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,Sn是数列{bn}的前n项和,求Sn. 解 (1)∵等比数列{an}的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8, ∴a1+a1q2=20,a1q=8,∴2q2-5q+2=0,解得q=2,a1=4.∴an=2n+1. (2)bn=,Sn=+…+, Sn=+…+. ∴Sn=+…+.∴Sn=1-. 6.(2017安徽安庆二模,理17)在数列{an}中,a1=2,a2=4,设Sn为数列{an}的前n项和,对于任意的n>1,n∈ N*,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn. 解 (1)对于任意的n>1,n∈N*,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn=2(Sn+1+1), 两式相减可得an+2+an=2an+1.(*) 当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即2a1+a2+a3=2(a1+a2+1),解得a3=6.∴当n=1时(*)也满足. ∴数列{an}是等差数列,公差为2, ∴an=2+2(n-1)=2n. (2)∵bn=,∴Tn=+…+Tn=+…+, ∴Tn=+…+, ∴Tn=. 7.(2017山东,理19)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn. 解 (1)设数列{xn}的公比为q,由已知q>0. 由题意得所以3q2-5q-2=0. 因为q>0,所以q=2,x1=1, 因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1. (2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1. 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1, 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn, 由题意bn=×2n-1=(2n+1)×2n-2, ① ② 所以Tn=b1+b2+…+bn=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2. 又2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1, ①-②得-Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1=-(2n+1)×2n-1. 所以Tn=. 8.(2017山东潍坊一模,理19)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}是公比大于0的等比数列,且 b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令cn=求数列{cn}的前n项和Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,q>0, ∵b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7, ∴a1=-1,b1=2,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q2=7, 解得d=-2,q=2.∴an=-1-2(n-1)=1-2n,bn=2n.